25. (2) (2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tanαtanβ=sqrt(2)+1，则sin(α+β)=____.
题目解答
答案
由题意，利用正切和角公式得：
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{4}{1 - (\sqrt{2} + 1)} = -2\sqrt{2}$
由于 $\alpha$ 为第一象限角，$\beta$ 为第三象限角，$\alpha + \beta$ 在第四象限（$\pi < \alpha + \beta < 2\pi$），且 $\tan(\alpha + \beta) < 0$。设 $\sin(\alpha + \beta) = y$，$\cos(\alpha + \beta) = x$，则：
$\frac{y}{x} = -2\sqrt{2}, \quad y^2 + x^2 = 1$
解得 $x = \frac{1}{3}$，$y = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
答案： $\boxed{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}$
解析
考查要点：本题主要考查正切的和角公式、象限角的判断以及同角三角函数的基本关系。
解题核心思路：
- 利用正切和角公式计算$\tan(\alpha + \beta)$的值；
- 判断$\alpha + \beta$所在的象限，确定$\sin(\alpha + \beta)$的符号；
- 构造方程组，结合$\tan(\alpha + \beta)$和同角三角函数关系求解$\sin(\alpha + \beta)$。
破题关键点：
- 正切和角公式的直接应用，代入已知条件；
- 象限分析：根据$\alpha$和$\beta$的象限范围，确定$\alpha + \beta$的象限，从而确定$\sin(\alpha + \beta)$的符号；
- 方程组求解：通过$\tan(\alpha + \beta)$和三角恒等式联立求解。
步骤1：计算$\tan(\alpha + \beta)$
根据正切和角公式：
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$
代入已知条件$\tan \alpha + \tan \beta = 4$和$\tan \alpha \tan \beta = \sqrt{2} + 1$：
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{4}{1 - (\sqrt{2} + 1)} = \frac{4}{-\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$
步骤2：判断$\alpha + \beta$的象限
- $\alpha$为第一象限角，$\beta$为第三象限角，因此$\alpha + \beta$的范围为$\pi < \alpha + \beta < 2\pi$，即第四象限。
- 在第四象限中，$\sin(\alpha + \beta) < 0$，$\cos(\alpha + \beta) > 0$。
步骤3：求$\sin(\alpha + \beta)$
设$\sin(\alpha + \beta) = y$，$\cos(\alpha + \beta) = x$，则：
$\frac{y}{x} = -2\sqrt{2}, \quad y^2 + x^2 = 1$
解得：
$x = \frac{1}{3}, \quad y = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$