14.（4.0分） 给定向量组alpha_(1)=(1,-1,3)^T,alpha_(2)=(2,1,4)^T,alpha_(3)=(3,0,7)^T，其极大无关组所含向量的个数为（）。A. 3B. 1C. 0D. 2

本题考查向量组极大无关组所含向量个数的求解，解题思路是将向量组构成矩阵，通过对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的非零行的行数即为向量组的秩，而向量组的秩就等于其极大无关组所含向量的个数。

步骤一：构造矩阵

将向量组$\alpha_{1}=(1,-1,3)^{T},\alpha_{2}=(2,1,4)^{T},\alpha_{3}=(3,0,7)^{T}$构成矩阵$A = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$，即
\(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 7 \end{pmatrix}\)

步骤二：对矩阵$A$进行初等行变换化为行阶梯形矩阵

• 第二行加上第一行：
  $r_{2}=r_{2}+r_{1}$，得到\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 7 \end{pmatrix}\)
• 第三行减去第一行的$3$倍：
  $r_{3}=r_{3}-3r_{1}$，得到\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}\)
• 第三行加上第二行的$\frac{2}{3}$倍：
  $r_{3}=r_{3}+\frac{2}{3}r_{2}$，得到\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

步骤三：确定矩阵的秩

行阶梯形矩阵\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)的非零行有$2$行，所以矩阵$A$的秩$R(A)=2$。

步骤四：得出极大无关组所含向量的个数

因为向量组的秩等于其极大无关组所含向量的个数，所以向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$的极大无关组所含向量的个数为$2$。