题目
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )A. 充分必要条件.B. 充分而非必要条件.C. 必要而非充分条件.D. 既非充分也非必要条件.
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
A. 充分必要条件.
B. 充分而非必要条件.
C. 必要而非充分条件.
D. 既非充分也非必要条件.
题目解答
答案
A. 充分必要条件.
解析
步骤 1：理解相似矩阵的定义
两个矩阵A和B相似，如果存在一个可逆矩阵P，使得B = P^(-1)AP。相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量可能不同。
步骤 2：理解对角化条件
一个n阶矩阵A可以对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP = D，其中D是对角矩阵，当且仅当A有n个线性无关的特征向量。
步骤 3：分析充分必要条件
如果A有n个线性无关的特征向量，那么A可以对角化，即A与对角矩阵相似。反之，如果A与对角矩阵相似，那么A可以对角化，即A有n个线性无关的特征向量。因此，A有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的充分必要条件。
两个矩阵A和B相似，如果存在一个可逆矩阵P，使得B = P^(-1)AP。相似矩阵具有相同的特征值，但特征向量可能不同。
步骤 2：理解对角化条件
一个n阶矩阵A可以对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP = D，其中D是对角矩阵，当且仅当A有n个线性无关的特征向量。
步骤 3：分析充分必要条件
如果A有n个线性无关的特征向量，那么A可以对角化，即A与对角矩阵相似。反之，如果A与对角矩阵相似，那么A可以对角化，即A有n个线性无关的特征向量。因此，A有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的充分必要条件。