函数 y = } 2x - 1, & x > 0, 0, & x = 0, sin x - 1, & x < 0 的值域是A. (-infty, +infty)B. -1, 0, 1C. [-2, +infty)D. [-1, 1]

我们来分析这个分段函数：

函数定义为：

$y = \begin{cases} 2x - 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ \sin x - 1, & x < 0 \end{cases}$

我们需要求这个函数的值域，也就是所有可能的 $ y $ 值的集合。

第一步：分析每一段的取值范围

1. 当 $ x > 0 $ 时，$ y = 2x - 1 $

• 这是一个一次函数，斜率为正，随着 $ x $ 增大而增大。
• 当 $ x \to 0^+ $ 时，$ 2x - 1 \to 2 \cdot 0 - 1 = -1 $
• 当 $ x \to +\infty $ 时，$ 2x - 1 \to +\infty $
• 所以，当 $ x > 0 $ 时，$ y \in (-1, +\infty) $

注意：因为 $ x > 0 $，不包括 $ x = 0 $，所以 $ 2x - 1 $ 不取到 $ -1 $，是开区间。

所以这一段的值域是：$ (-1, +\infty) $

2. 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0 $

• 直接给出，$ y = 0 $
• 所以这个点单独贡献一个值：0

3. 当 $ x < 0 $ 时，$ y = \sin x - 1 $

• $ \sin x $ 的取值范围是 $[-1, 1]$，无论 $ x $ 是正还是负。
• 所以 $ \sin x - 1 \in [-1 - 1, 1 - 1] = [-2, 0] $
• 因为 $ x < 0 $，但 $ \sin x $ 在负数区间仍然可以取到 $-1$ 到 $1$ 的所有值（比如 $ x = -\frac{\pi}{2} $ 时，$ \sin x = -1 $；$ x = \frac{\pi}{2} $ 是正的，但 $ x = -\frac{3\pi}{2} $ 时 $ \sin x = 1 $，等等），所以 $ \sin x $ 在 $ x < 0 $ 时仍然能取遍 $[-1,1]$。
• 所以 $ \sin x - 1 $ 在 $ x < 0 $ 时可以取遍 $[-2, 0]$

所以这一段的值域是：$ [-2, 0] $

第二步：合并三段的值域

我们现在有：

• $ x > 0 $：$ y \in (-1, +\infty) $
• $ x = 0 $：$ y = 0 $
• $ x < 0 $：$ y \in [-2, 0] $

将三部分合并：

先合并 $ x < 0 $ 和 $ x = 0 $：
$ [-2, 0] \cup \{0\} = [-2, 0] $

再合并 $ (-1, +\infty) $ 和 $ [-2, 0] $：

注意：$ (-1, +\infty) $ 和 $ [-2, 0] $ 有重叠部分（比如 $ (-1, 0] $）

所以整体值域是：

$[-2, 0] \cup (-1, +\infty)$

但注意：$ [-2, 0] $ 已经包含了 $ (-1, 0] $，而 $ (-1, +\infty) $ 包含 $ (0, +\infty) $ 和 $ (-1, 0] $

所以合并后：

• 从 $-2$ 到 $0$：完整覆盖（因为 $[-2,0]$）
• 从 $0$ 到 $+\infty$：$ (-1, +\infty) $ 包含 $ (0, +\infty) $，且 $ y=0 $ 已经包含在中间

但注意：$ (-1, +\infty) $ 不包含 $-1$，但 $[-2,0]$ 包含 $-1$ 吗？

是的！因为当 $ x < 0 $ 时，$ \sin x - 1 $ 能否取到 $-1$？

我们来验证一下：

• $ \sin x - 1 = -1 \Rightarrow \sin x = 0 $
• 比如 $ x = -\pi $，$ \sin(-\pi) = 0 $，所以 $ y = -1 $
• 所以 $ y = -1 $ 可以取到

再看 $ x > 0 $ 时，$ y = 2x - 1 $，当 $ x \to 0^+ $ 时趋近于 $-1$，但不取到 $-1$，但 $ x < 0 $ 时已经取到了 $-1$，所以整体值域包含 $-1$

再看最小值：$ x < 0 $ 时，$ \sin x - 1 $ 最小为 $-2$（当 $ \sin x = -1 $，比如 $ x = -\frac{\pi}{2} $）

所以 $ y = -2 $ 可以取到。

再看最大值：$ x > 0 $ 时，$ 2x - 1 \to +\infty $，所以值域无上界。

现在我们合并：

• $ [-2, 0] \cup (-1, +\infty) $

注意：$ (-1, +\infty) $ 包含 $ (0, +\infty) $，而 $ [-2,0] $ 包含到 $0$，所以整体是：

从 $-2$ 开始，一直到 $+\infty$，中间有没有空缺？

检查 $-1$：包含（来自 $ x < 0 $）

检查 $ (-1, 0] $：包含在 $[-2,0]$

检查 $ (0, +\infty) $：包含在 $ (-1, +\infty) $

所以整个值域是：

$[-2, +\infty)$

因为：

• 最小值是 $-2$
• 从 $-2$ 到 $0$ 都被 $ x < 0 $ 和 $ x = 0 $ 覆盖
• 从 $0$ 到 $+\infty$ 被 $ x > 0 $ 覆盖（注意 $ x > 0 $ 时 $ y > -1 $，但特别地，当 $ x = 0.5 $，$ y = 2 \times 0.5 - 1 = 0 $；当 $ x = 1 $，$ y = 1 $；等等，所以可以取到 $0$ 及以上任意大的值）

虽然 $ x > 0 $ 时 $ y = 2x - 1 $ 从 $-1$ 以上开始，但 $-1$ 到 $0$ 这段已经被 $ x < 0 $ 的部分覆盖（因为 $ \sin x - 1 $ 可以取到 $-1$ 到 $0$ 之间的值），所以整体是连续的从 $-2$ 到 $+\infty$

因此，值域是：

$[-2, +\infty)$

第三步：选择正确选项

选项：

A. $ (-\infty, +\infty) $ — 错误，因为最小值是 $-2$，不可能小于 $-2$

B. $ \{-1, 0, 1\} $ — 显然太小，错误

C. $ [-2, +\infty) $ — 正确！

D. $ [-1, 1] $ — 错误，因为可以小于 $-1$（如 $-2$），也可以大于 $1$（如 $ x = 2 $，$ y = 2 \times 2 - 1 = 3 $）

最终答案：

\boxed{\text{C. } [-2, +\infty)}