20. (5.0分) 设矩阵A，B均为n阶矩阵，则其乘积的转置满足运算律 (AB)^T=B^TA^T.A 对B 错

为了确定矩阵乘积的转置的运算律 $(AB)^T = B^T A^T$ 是否正确，我们需要理解矩阵转置的性质。矩阵 $A$ 的转置，记作 $A^T$，是通过将 $A$ 的行变为列，列变为行得到的矩阵。 让我们考虑两个 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$。乘积 $AB$ 也是一个 $n \times n$ 矩阵。乘积 $AB$ 的转置，记作 $(AB)^T$，是通过将 $AB$ 的行变为列，列变为行得到的矩阵。 根据矩阵转置的性质，我们有以下恒等式： \[ (AB)^T = B^T A^T. \] 这个恒等式表明，两个矩阵乘积的转置等于它们的转置的乘积，但顺序相反。 为了理解为什么这个恒等式成立，让我们考虑矩阵 $A$ 和 $B$ 的元素。设 $A = [a_{ij}]$ 和 $B = [b_{ij}]$。乘积 $AB$ 的元素由下式给出： \[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}. \] 乘积 $AB$ 的转置的元素为： \[ ((AB)^T)_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_{k=1}^n a_{jk} b_{ki}. \] 现在，让我们考虑乘积 $B^T A^T$。矩阵 $B^T$ 的元素为 $b_{ji}$，矩阵 $A^T$ 的元素为 $a_{ji}$。乘积 $B^T A^T$ 的元素为： \[ (B^T A^T)_{ij} = \sum_{k=1}^n (B^T)_{ik} (A^T)_{kj} = \sum_{k=1}^n b_{ki} a_{jk}. \] 我们看到 $(AB)^T$ 的元素与 $B^T A^T$ 的元素相同。因此，我们有： \[ (AB)^T = B^T A^T. \] 因此，矩阵乘积的转置的运算律是正确的。 答案是 $\boxed{\text{A}}$。