〔此题总分值10分〕求极限lim _(xarrow 0)((dfrac {ln (1+x))(x))}^dfrac (1{{e)^x-1}} ()

步骤 1：利用等价无穷小替换
由于当$x\rightarrow 0$时，$\ln(1+x)\sim x$，${e}^{x}-1\sim x$，因此原式可以简化为$\lim _{x\rightarrow 0}{(\dfrac {x}{x})}^{\dfrac {1}{x}}$，即$\lim _{x\rightarrow 0}{1}^{\dfrac {1}{x}}$。但直接这样替换会得到一个不确定的形式，因此需要进一步处理。
步骤 2：对数变换
为了处理这个不确定的形式，我们对原式进行对数变换，设$y={(\dfrac {\ln (1+x)}{x})}^{\dfrac {1}{{e}^{x}-1}}$，则$\ln y=\dfrac {1}{{e}^{x}-1}\ln(\dfrac {\ln (1+x)}{x})$。现在我们求$\lim _{x\rightarrow 0}\ln y$。
步骤 3：洛必达法则
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\ln y$的形式为$\dfrac {0}{0}$，可以应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {d}{dx}[\ln(\dfrac {\ln (1+x)}{x})]}{\dfrac {d}{dx}[{e}^{x}-1]}$。分子的导数为$\dfrac {1}{\dfrac {\ln (1+x)}{x}}\cdot \dfrac {d}{dx}[\dfrac {\ln (1+x)}{x}]$，分母的导数为${e}^{x}$。进一步简化后，我们得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{1+x}-\dfrac {\ln (1+x)}{{x}^{2}}}{e^{x}}$。
步骤 4：再次应用洛必达法则
由于上一步得到的极限形式仍然为$\dfrac {0}{0}$，再次应用洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {d}{dx}[\dfrac {1}{1+x}-\dfrac {\ln (1+x)}{{x}^{2}}]}{\dfrac {d}{dx}[e^{x}]}$。分子的导数为$-\dfrac {1}{{(1+x)}^{2}}+\dfrac {2\ln (1+x)-x}{{x}^{3}}$，分母的导数为${e}^{x}$。进一步简化后，我们得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\dfrac {1}{{(1+x)}^{2}}+\dfrac {2\ln (1+x)-x}{{x}^{3}}}{e^{x}}$。
步骤 5：计算极限
将$x=0$代入上一步得到的表达式，得到$\dfrac {-\dfrac {1}{{(1+0)}^{2}}+\dfrac {2\ln (1+0)-0}{{0}^{3}}}{e^{0}}=\dfrac {-1}{1}=-1$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\ln y=-\dfrac {1}{2}$。
步骤 6：求原极限
由于$\lim _{x\rightarrow 0}\ln y=-\dfrac {1}{2}$，则$\lim _{x\rightarrow 0}y={e}^{-\dfrac {1}{2}}$。