题目
25. (2.0分) 若连续型随机变量X的分布函数为F(x)=}0,x<0Ax^2,0le x<61,xge 6则A=_____.
25. (2.0分) 若连续型随机变量X的分布函数为
$F(x)=\begin{cases}0,x<0\\Ax^{2},0\le x<6\\1,x\ge 6\end{cases}$
则A=_____.
题目解答
答案
为了确定分布函数 $ F(x) $ 中 $ A $ 的值，我们需要确保 $ F(x) $ 在 $ x = 6 $ 处连续。分布函数 $ F(x) $ 定义如下：
\[ F(x) = \begin{cases}
0 & \text{如果 } x < 0 \\
Ax^2 & \text{如果 } 0 \le x < 6 \\
1 & \text{如果 } x \ge 6
\end{cases} \]
为了使 $ F(x) $ 在 $ x = 6 $ 处连续，当 $ x $ 从左侧接近 6 时，$ F(x) $ 的极限必须等于 $ F(6) $。也就是说，
\[ \lim_{x \to 6^-} F(x) = F(6) \]
从分布函数的定义中，我们知道 $ F(6) = 1 $。同时，当 $ x $ 从左侧接近 6 时，$ F(x) = Ax^2 $。因此，
\[ \lim_{x \to 6^-} F(x) = A \cdot 6^2 = 36A \]
为了使 $ F(x) $ 在 $ x = 6 $ 处连续，我们必须有
\[ 36A = 1 \]
解出 $ A $，我们得到
\[ A = \frac{1}{36} \]
因此，$ A $ 的值是 $\boxed{\frac{1}{36}}$。
解析
关键知识点：连续型随机变量的分布函数必须满足连续性，尤其是在分段点处。本题中，分布函数在$x=6$处的连续性是解题的核心。
解题思路：
- 分布函数$F(x)$在$x=6$处左极限必须等于右极限，且等于$F(6)$的值。
- 根据分段函数定义，当$x \to 6^-$时，$F(x) = A \cdot 6^2$，而$F(6) = 1$。
- 通过等式$36A = 1$即可求出$A$的值。
步骤1：分析分段点$x=6$的连续性
分布函数在$x=6$处连续，因此左极限等于右极限且等于函数值：
$\lim_{x \to 6^-} F(x) = F(6) = 1.$
步骤2：计算左极限
当$x \to 6^-$时，$F(x) = A x^2$，代入$x=6$得：
$\lim_{x \to 6^-} F(x) = A \cdot 6^2 = 36A.$
步骤3：建立方程并求解
根据连续性条件：
$36A = 1 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{1}{36}.$