题目
4.[判断题]函数f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z在球面x^2+y^2+z^2=5r^2(x>0,y>0,z>0)上的最大值为ln3sqrt(3)r^5.A 对B 错
4.[判断题]
函数$f(x,y,z)=\ln x+\ln y+3\ln z$在球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=5r^{2}(x>0,y>0,z>0)$上的最大值为$ln3\sqrt{3}r^{5}$.
A 对
B 错
题目解答
答案
定义拉格朗日函数 $ L(x, y, z, \lambda) = \ln x + \ln y + 3 \ln z + \lambda (5r^2 - x^2 - y^2 - z^2) $。求偏导数并设为零，得到：
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} - 2\lambda x = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2x^2} \\
\frac{1}{y} - 2\lambda y = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2y^2} \\
\frac{3}{z} - 2\lambda z = 0 \implies \lambda = \frac{3}{2z^2} \\
x^2 + y^2 + z^2 = 5r^2
\end{cases}
\]
由 $\lambda$ 相等得 $x = y$，$z = \sqrt{3}x$。代入约束条件解得 $x = y = r$，$z = \sqrt{3}r$。代入原函数得：
\[
f(r, r, \sqrt{3}r) = \ln r + \ln r + 3\ln(\sqrt{3}r) = 5\ln r + \frac{3}{2}\ln 3 = \ln(3\sqrt{3}r^5)
\]
因此，最大值为 $\ln(3\sqrt{3}r^5)$，答案为 $\boxed{A}$。