请使用分布函数法计算Z=X+Y的分布函数和密度函数。要求画图，过程写在作业纸上，手写姓名学号，拍照提交。3. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=}x+y,&0<1,0<1,0,&其他.求Z=X+Y的概率密度.

本题考查二维随机变量和的分布函数与概率密度的求解，解题思路是先根据已知的联合概率密度确定$Z = X + Y$的取值范围，然后通过分布函数法，利用二重积分计算$Z$的分布函数$F_Z(z)$，最后对分布函数求导得到概率密度$f_Z(z)$。

步骤1：确定$Z$的取值范围

已知$0\lt x\lt1$，$0\lt y\lt1$，因为$Z = X + Y$，所以$0\lt Z\lt 2$。

步骤2：计算分布函数$F_Z(z)$

分布函数$F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(X + Y\leq z)=\underset{x + y\leq z}{\iint}f(x,y)dxdy$。

• 当$0\lt z\leq 1$时：
  此时积分区域为$\begin{cases}0\lt x\lt z\\0\lt y\lt z - x\end{cases}$，则
  $\begin{align*}F_Z(z)&=\int_0^z \int_0^{z - x} (x + y) \, dy \, dx\\&=\int_0^z\left[xy+\frac{1}{2}y^2\right]_0^{z - x}dx\\&=\int_0^z\left[x(z - x)+\frac{1}{2}(z - x)^2\right]dx\\&=\int_0^z\left(xz - x^2+\frac{1}{2}(z^2 - 2xz + x^2)\right)dx\\&=\int_0^z\left(\frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{2}x^2\right)dx\\&=\left[\frac{1}{2}z^2x - \frac{1}{6}x^3\right]_0^z\\&=\frac{1}{2}z^3 - \frac{1}{6}z^3\\&=\frac{z^3}{3}\end{align*}$
• 当$1\lt z\lt 2$时：
  $F_Z(z)=1 - P(X + Y\gt z)$，$P(X + Y\gt z)$的积分区域为$\begin{cases}z - 1\lt x\lt 1\\z - x\lt y\lt 1\end{cases}$，则
  $\begin{align*}P(X + Y\gt z)&=\int_{z - 1}^1 \int_{z - x}^1 (x + y) \需要你这里表述有误，我们换一种思路，用$1$减去$0\lt z\leq1$时的积分区域和$x + y\leq z$在$1\lt z\lt 2$时的积分区域。\\F_Z(z)&=\int_0^{z - 1} \int_0^1 (x + y) \, dy \, dx+\int_{z - 1}^1 \int_0^{z - x} (x + y) \, dy \, dx\\&=\int_0^{z - 1}\left[xy+\frac{1}{2}y^2\right]_0^1dx+\int_{z - 1}^1\left[xy+\frac{1}{2}y^2\right]_0^{z - x}dx\\&=\int_0^{z - 1}\left(x+\frac{1}{2}\right)dx+\int_{z - 1}^1\left(x(z - x)+\frac{1}{2}(z - x)^2\right)dx\\&=\left[\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x\right]_0^{z - 1}+\int_{z - 1}^1\left(\frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{2}x^2\right)dx\\&=\frac{1}{2}(z - 1)^2+\frac{1}{2}(z - 1)+\left[\frac{1}{2}z^2x - \frac{1}{6}x^3\right]_{z - 1}^1\\&=\frac{1}{2}(z^2 - 2z + 1)+\frac{1}{2}(z - 1)+\left(\frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{6}-\left(\frac{1}{2}z^2(z - 1) - \frac{1}{6}(z - 1)^3\right)\right)\\&=z^2 - \frac{z^3}{3} - \frac{2}{3}\end{align*}$

步骤3：求导得概率密度$f_Z(z)$

根据概率密度与分布函数的关系$f_Z(z)=F_Z^\prime(z)$。

• 当$0\lt z\leq 1$时，$f_Z(z)=\left(\frac{z^3}{3}\right)^\prime = z^2$。
• 当$1\lt z\lt 2$时，$f_Z(z)=\left(z^2 - \frac{z^3}{3} - \frac{2}{3}\right)^\prime = 2z - z^2$。
  当$z$取其他值时，$F_Z(z)$为常数，其导数$f_Z(z)=0$。