题目

设 A 是三阶方阵，将 A 的第一行与第二行交换得到 B，再把 B 的第二行加到第三行得到 C，则满足 PA = C 的可逆矩阵 P 为( )A. } 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1

设 $A$ 是三阶方阵，将 $A$ 的第一行与第二行交换得到 $B$，再把 $B$ 的第二行加到第三行得到 $C$，则满足 $PA = C$ 的可逆矩阵 $P$ 为( )

A. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

题目解答

答案

A. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

解析

本题考查矩阵的初等变换以及矩阵乘法的知识。解题思路是先分别找出交换第一行和第二行对应的初等矩阵以及将第二行加到第三行对应的初等矩阵，然后将这两个初等矩阵相乘，得到满足$PA = C$的可逆矩阵$P$。

下面进行详细的计算：

  1. 交换第一行和第二行对应的初等矩阵$E_1$：
    交换第一行和第二行，相当于将单位矩阵$I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$的第一行和第二行交换，得到$E_1 = \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
  2. 将第二行加到第三行对应的初等矩阵$E_2$：
    将第二行加到第三行，相当于在单位矩阵$I$的第三行加上第二行，得到$E_2 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$。
  3. 计算$P = E_2E_1$：
    根据矩阵乘法规则，$P = E_2E_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
    先计算$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$的第一行与第二行的乘积：
    $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}$。