36/50多选题(2分) 设函数 g(x)=xf(x²) 则g(x)是()。 A. 偶函数 B. 奇函数 C. 图形关于原点对称的函数 D. 图形关于y轴对称的函数

考查要点：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及奇偶函数的图像特征。

解题核心思路：

1. 判断奇偶性：通过计算$g(-x)$，与$g(x)$比较，判断是否满足奇函数或偶函数的定义。
2. 关联图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于$y$轴对称。

破题关键点：

• 代入$-x$：将$-x$代入函数表达式，化简后与原函数比较。
• 符号分析：若$g(-x) = -g(x)$，则为奇函数；若$g(-x) = g(x)$，则为偶函数。

步骤1：计算$g(-x)$
根据题意，函数$g(x) = x f(x^2)$，代入$-x$得：
$g(-x) = (-x) f((-x)^2) = (-x) f(x^2)$

步骤2：化简表达式
注意到$(-x)^2 = x^2$，因此：
$g(-x) = -x f(x^2) = -g(x)$

步骤3：判断奇偶性
由$g(-x) = -g(x)$可知，$g(x)$是奇函数，其图像关于原点对称。

选项分析：

• A（偶函数）：错误，与奇函数矛盾。
• B（奇函数）：正确，符合定义。
• C（关于原点对称）：正确，奇函数的图像特征。
• D（关于$y$轴对称）：错误，偶函数的图像特征。