题目
已知压和函数=(y)^2-(x)^2, 求解析函数 数=(y)^2-(x)^2 使得数=(y)^2-(x)^2
已知压和函
, 求解析函数 
使得
题目解答
答案
给定实部函数
首先我们来求虚部函数 v(x,y)。根据柯西-黎曼方程，我们有：
将 
代入这个方程，我们可以得到：
然后我们来求常数项 C。由于 f(0)=i，所以我们有：
所以，解析函数为
解析
步骤 1：确定柯西-黎曼方程
根据柯西-黎曼方程，我们有：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{和} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}
\]
步骤 2：计算偏导数
给定实部函数 $u = y^2 - x^2$，我们计算其偏导数：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = -2x \quad \text{和} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y
\]
步骤 3：求解虚部函数 v(x,y)
根据柯西-黎曼方程，我们有：
\[
\frac{\partial v}{\partial y} = 2x \quad \text{和} \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -2y
\]
对 $\frac{\partial v}{\partial y} = 2x$ 积分，得到：
\[
v = 2xy + C(x)
\]
对 $\frac{\partial v}{\partial x} = -2y$ 积分，得到：
\[
v = -2xy + C(y)
\]
由于 $v$ 必须同时满足这两个条件，我们得到：
\[
v = -2xy + C
\]
步骤 4：确定常数项 C
由于 $f(0) = i$，我们有：
\[
C = i - u(0,0) = i - (0^2 - 0^2) = i
\]
根据柯西-黎曼方程，我们有：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{和} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}
\]
步骤 2：计算偏导数
给定实部函数 $u = y^2 - x^2$，我们计算其偏导数：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = -2x \quad \text{和} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y
\]
步骤 3：求解虚部函数 v(x,y)
根据柯西-黎曼方程，我们有：
\[
\frac{\partial v}{\partial y} = 2x \quad \text{和} \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -2y
\]
对 $\frac{\partial v}{\partial y} = 2x$ 积分，得到：
\[
v = 2xy + C(x)
\]
对 $\frac{\partial v}{\partial x} = -2y$ 积分，得到：
\[
v = -2xy + C(y)
\]
由于 $v$ 必须同时满足这两个条件，我们得到：
\[
v = -2xy + C
\]
步骤 4：确定常数项 C
由于 $f(0) = i$，我们有：
\[
C = i - u(0,0) = i - (0^2 - 0^2) = i
\]