2. 验证 _(1)=(e)^x, _(2)=(e)^-x 都是方程 ^n-y=0 的解,写出该方程的通解.

考查要点：本题主要考查二阶线性齐次微分方程解的验证及通解的构造方法。
解题思路：

1. 验证解：分别计算两个函数的二阶导数，代入方程验证是否满足方程。
2. 构造通解：若两个解线性无关，则通解为它们的线性组合。
   关键点：

• 二阶导数的正确计算是验证解的基础。
• Wronskian行列式可判断解的线性无关性，从而确定通解形式。

验证 ${y}_1 = e^x$ 是解

1. 求导：
   • 一阶导数：$y_1' = e^x$
   • 二阶导数：$y_1'' = e^x$
2. 代入方程：
   $y_1'' - y_1 = e^x - e^x = 0$
   方程成立，故 ${y}_1$ 是解。

验证 ${y}_2 = e^{-x}$ 是解

1. 求导：
   • 一阶导数：$y_2' = -e^{-x}$
   • 二阶导数：$y_2'' = e^{-x}$
2. 代入方程：
   $y_2'' - y_2 = e^{-x} - e^{-x} = 0$
   方程成立，故 ${y}_2$ 是解。

构造通解

1. 判断线性无关性：
   计算 Wronskian 行列式：
   $W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} e^x & e^{-x} \\ e^x & -e^{-x} \end{vmatrix} = e^x(-e^{-x}) - e^{-x}e^x = -1 -1 = -2 \neq 0$
   说明 ${y}_1$ 和 ${y}_2$ 线性无关。
2. 通解形式：
   通解为两个线性无关解的线性组合：
   $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$