例2 已知 (s)=dfrac (1)({s)^2(1+s)}, 求f(t).

考查要点：本题主要考查拉普拉斯反变换的Heaviside覆盖法（留数法），重点在于极点的识别和留数的计算。

解题核心思路：

1. 分解极点：确定函数$F(s)$的极点位置及其阶数。
2. 应用Heaviside公式：对每个极点，通过求留数的方式计算对应的原函数分量。
3. 叠加结果：将所有极点对应的分量相加，得到最终的$f(t)$。

破题关键点：

• 极点识别：$F(s)$的极点为$s=-1$（一阶）和$s=0$（二阶）。
• 留数计算：对一阶极点直接计算留数，对二阶极点需通过求导或展开法处理。

步骤1：分解极点

函数$F(s)=\dfrac{1}{s^2(1+s)}$的极点为：

• 一阶极点：$s_1=-1$
• 二阶极点：$s_2=0$

步骤2：计算各极点的留数

极点$s=-1$的留数

根据Heaviside公式，对应分量为：
$\text{Res}_{s=-1}\left[F(s)e^{st}\right] = \lim_{s \to -1} (s+1) \cdot \frac{e^{st}}{s^2(1+s)} = \frac{e^{-t}}{(-1)^2} = e^{-t}$

极点$s=0$的留数

对于二阶极点，展开$F(s)$为泰勒级数形式：
$F(s) = \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{1+s} = \frac{1}{s^2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n s^n \quad (\text{当}|s|<1)$
取前两项展开：
$F(s) \approx \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s} + \cdots$
对应分量为：
$\text{Res}_{s=0}\left[F(s)e^{st}\right] = \lim_{s \to 0} \left[ \frac{d}{ds} \left( s^2 \cdot \frac{e^{st}}{s^2(1+s)} \right) \right] = \lim_{s \to 0} \frac{d}{ds} \left( \frac{e^{st}}{1+s} \right)$
计算导数：
$\frac{d}{ds} \left( \frac{e^{st}}{1+s} \right) = \frac{t e^{st}(1+s) - e^{st}}{(1+s)^2}$
代入$s=0$得：
$\frac{t \cdot 1 \cdot 1 - 1}{1^2} = t - 1$

步骤3：叠加结果

将两部分结果相加：
$f(t) = e^{-t} + (t - 1)$