设 0 < x_1 < 3, x_(n+1) = sqrt(x_n(3-x_n)) (n=1,2,...), 证明数列 x_n 的极限存在, 并求此极限.

我们来分析并解决这个数列极限问题。

题目回顾

给定数列定义如下：

• 初始值：$ 0 < x_1 < 3 $
• 递推公式：
  $x_{n+1} = \sqrt{x_n(3 - x_n)} \quad (n = 1, 2, \dots)$

目标：证明数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，并求出这个极限。

第一步：观察函数形式

定义函数：
$f(x) = \sqrt{x(3 - x)}$
那么数列定义为：
$x_{n+1} = f(x_n)$

我们先分析这个函数的性质。

第二步：函数 $ f(x) = \sqrt{x(3 - x)} $ 的性质

定义域：
由于平方根下不能为负数，所以要求：
$x(3 - x) \geq 0 \Rightarrow 0 \leq x \leq 3$

所以函数定义域为 $[0, 3]$，而题目中给出 $ 0 < x_1 < 3 $，因此数列始终在定义域内。

第三步：函数图像与最大值

函数 $ f(x) = \sqrt{x(3 - x)} $ 是一个抛物线的平方根形式。

• 在 $ x = 0 $ 和 $ x = 3 $ 时，$ f(x) = 0 $
• 中间点 $ x = \frac{3}{2} $，函数取得最大值：
  $f\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \left(3 - \frac{3}{2}\right)} = \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

所以，函数在 $[0, 3]$ 上是连续的，且最大值为 $ \frac{3}{2} $。

第四步：构造数列的性质

我们分析数列 $\{x_n\}$ 的单调性和有界性。

1. 有界性

我们证明：若 $ 0 < x_n < 3 $，则 $ 0 < x_{n+1} < \frac{3}{2} $

因为：
$x_{n+1} = \sqrt{x_n(3 - x_n)} \leq \sqrt{\left(\frac{x_n + (3 - x_n)}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{3}{2}$

所以：
$0 < x_{n+1} \leq \frac{3}{2} < 3$

因此，数列 $\{x_n\}$ 有界。

2. 单调性

我们分析数列是否单调。

考虑函数 $ f(x) = \sqrt{x(3 - x)} $ 的单调性。

• 在 $[0, \frac{3}{2}]$ 上，$ f(x) $ 是递增函数；
• 在 $[\frac{3}{2}, 3]$ 上，$ f(x) $ 是递减函数。

所以：

• 如果 $ x_n < \frac{3}{2} $，则 $ x_{n+1} = f(x_n) > x_n $，即数列递增；
• 如果 $ x_n > \frac{3}{2} $，则 $ x_{n+1} = f(x_n) < x_n $，即数列递减；
• 如果 $ x_n = \frac{3}{2} $，则 $ x_{n+1} = \frac{3}{2} $，数列恒定。

所以数列会向 $ \frac{3}{2} $ 靠拢。

第五步：数列收敛

由于：

• 数列有界；
• 数列单调（在 $ x_n < \frac{3}{2} $ 时递增，否则递减）；
• 极限点唯一（函数图像对称于 $ x = \frac{3}{2} $，且函数值在 $ x = \frac{3}{2} $ 处最大）；

所以数列 $\{x_n\}$ 收敛。

第六步：求极限

设极限为 $ L $，即：
$\lim_{n \to \infty} x_n = L$

由于递推公式是连续函数的迭代：
$x_{n+1} = \sqrt{x_n(3 - x_n)}$

两边取极限：
$L = \sqrt{L(3 - L)}$

两边平方：
$L^2 = L(3 - L) \Rightarrow L^2 = 3L - L^2 \Rightarrow 2L^2 = 3L \Rightarrow L(2L - 3) = 0 \Rightarrow L = 0 \quad \text{或} \quad L = \frac{3}{2}$

由于初始值 $ x_1 > 0 $，所以极限不能是 0。

因此，极限为：
$\boxed{\frac{3}{2}}$

最终答案

数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，且极限为：
$\boxed{\frac{3}{2}}$