1.2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元.(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元?(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个?(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个，设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)(元)，W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值.

为了解决这个问题，我们将分三个部分进行解答。

第一部分：求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元

设A款纪念品每个进价为 $x$ 元，B款纪念品每个进价为 $y$ 元。根据题目，我们可以建立以下方程组：

1. $200x + 300y = 14000$
2. $100x + 200y = 8000$

我们可以将第一个方程除以100，第二个方程除以100，得到：

1. $2x + 3y = 140$
2. $x + 2y = 80$

接下来，我们使用消元法解这个方程组。将第二个方程乘以2，得到：

$2x + 4y = 160$

现在，从这个方程中减去第一个方程：

$(2x + 4y) - (2x + 3y) = 160 - 140$
$y = 20$

将 $y = 20$ 代回第二个方程：

$x + 2 \cdot 20 = 80$
$x + 40 = 80$
$x = 40$

因此，A款纪念品每个进价为 $40$ 元，B款纪念品每个进价为 $20$ 元。

第二部分：至少需要购进B款纪念品多少个

设购进A款纪念品 $m$ 个，购进B款纪念品 $n$ 个。根据题目，总纪念品数为400个，总成本不超过12000元，我们可以建立以下不等式：

1. $m + n = 400$
2. $40m + 20n \leq 12000$

将第一个方程解出 $m$：

$m = 400 - n$

将这个表达式代入第二个不等式：

$40(400 - n) + 20n \leq 12000$
$16000 - 40n + 20n \leq 12000$
$16000 - 20n \leq 12000$
$4000 \leq 20n$
$200 \leq n$
$n \geq 200$

因此，至少需要购进B款纪念品 $200$ 个。

第三部分：求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值

设每个A款纪念品售价为 $a$ 元，销售量为 $200 - 5(a - 60)$ 个，即 $500 - 5a$ 个。每个A款纪念品的利润为 $a - 40$ 元。因此，总利润 $W$ 可以表示为：

$W = (a - 40)(500 - 5a)$
$W = 500a - 5a^2 - 20000 + 200a$
$W = -5a^2 + 700a - 20000$

这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处取得。二次函数 $W = -5a^2 + 700a - 20000$ 的顶点 $a$ 坐标为：

$a = -\frac{700}{2 \cdot -5} = \frac{700}{10} = 70$

由于 $60 \leq a \leq 100$， $a = 70$ 在这个范围内。将 $a = 70$ 代入 $W$ 的表达式：

$W = -5 \cdot 70^2 + 700 \cdot 70 - 20000$
$W = -5 \cdot 4900 + 49000 - 20000$
$W = -24500 + 49000 - 20000$
$W = 4500$

因此，W关于 $a$ 的函数表达式为 $W = -5a^2 + 700a - 20000$，W的最大值为 $4500$ 元。

最终答案

1. A款纪念品每个进价为 $40$ 元，B款纪念品每个进价为 $20$ 元。
2. 至少需要购进B款纪念品 $200$ 个。
3. W关于 $a$ 的函数表达式为 $W = -5a^2 + 700a - 20000$，W的最大值为 $\boxed{4500}$ 元。