计算函数f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+1的极值，结果为____.A. 在点(1,2)处取极大值-4B. 在点(1,2)处取极小值-4C. 没有极值点D. 以上都不对

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解、二阶导数检验法的应用，以及极值类型的判断。

解题核心思路：

1. 求驻点：通过求偏导数并解方程组，找到可能的极值点。
2. 二阶导数检验：计算二阶偏导数，构造判别式$\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$，根据$\Delta$的符号及$f_{xx}$的符号判断极值类型。
3. 计算极值：将驻点代入原函数，得到极值的具体数值。

破题关键点：

• 驻点求解：正确求出一阶偏导数并解方程。
• 判别式应用：明确判别式$\Delta$的计算及符号判断规则（$\Delta > 0$且$f_{xx} > 0$时为极小值点）。

步骤1：求一阶偏导数

对$f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1$分别求偏导：
$f_x = 2x - 2, \quad f_y = 2y - 4$

步骤2：求驻点

令$f_x = 0$和$f_y = 0$，解得：
$2x - 2 = 0 \implies x = 1, \quad 2y - 4 = 0 \implies y = 2$
因此，驻点为$(1, 2)$。

步骤3：求二阶偏导数

计算二阶偏导数：
$f_{xx} = 2, \quad f_{yy} = 2, \quad f_{xy} = 0$

步骤4：构造判别式

判别式$\Delta$为：
$\Delta = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4$
由于$\Delta > 0$且$f_{xx} = 2 > 0$，故驻点$(1, 2)$为极小值点。

步骤5：计算极值

将$(1, 2)$代入原函数：
$f(1, 2) = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 1 = 1 + 4 - 2 - 8 + 1 = -4$