题目
4.8 将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：(1) (z+1)/(z^2)(z-1)，0<|z|<1，1<|z|<+∞；
4.8 将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：
(1) $\frac{z+1}{z^{2}(z-1)}$，0<|z|<1，1<|z|<+∞；
题目解答
答案
将函数 $ f(z) = \frac{z+1}{z^2(z-1)} $ 进行部分分式分解：
\[
f(z) = -\frac{2}{z} - \frac{1}{z^2} + \frac{2}{z-1}.
\]
**圆环 $ 0 < |z| < 1 $：**
使用几何级数展开 $ \frac{2}{z-1} = -2 \sum_{n=0}^{\infty} z^n $，得
\[
f(z) = -\frac{1}{z^2} - \frac{2}{z} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} z^n = -\frac{1}{z^2} - 2 \sum_{n=-1}^{\infty} z^n.
\]
**圆环 $ 1 < |z| < +\infty $：**
使用几何级数展开 $ \frac{2}{z-1} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n} $，得
\[
f(z) = -\frac{2}{z} - \frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n} = \frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{z^n} = \frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n+3}}.
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
-\frac{1}{z^2} - 2 \sum_{n=-1}^{\infty} z^n, & 0 < |z| < 1, \\
\frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n+3}}, & 1 < |z| < +\infty.
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：部分分式分解
将函数 $ f(z) = \frac{z+1}{z^2(z-1)} $ 进行部分分式分解，得到：
\[ f(z) = -\frac{2}{z} - \frac{1}{z^2} + \frac{2}{z-1}. \]
步骤 2：圆环 $ 0 < |z| < 1 $ 的洛朗级数展开
在圆环 $ 0 < |z| < 1 $ 内，使用几何级数展开 $ \frac{2}{z-1} = -2 \sum_{n=0}^{\infty} z^n $，得到：
\[ f(z) = -\frac{1}{z^2} - \frac{2}{z} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} z^n = -\frac{1}{z^2} - 2 \sum_{n=-1}^{\infty} z^n. \]
步骤 3：圆环 $ 1 < |z| < +\infty $ 的洛朗级数展开
在圆环 $ 1 < |z| < +\infty $ 内，使用几何级数展开 $ \frac{2}{z-1} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n} $，得到：
\[ f(z) = -\frac{2}{z} - \frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n} = \frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{z^n} = \frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n+3}}. \]
将函数 $ f(z) = \frac{z+1}{z^2(z-1)} $ 进行部分分式分解，得到：
\[ f(z) = -\frac{2}{z} - \frac{1}{z^2} + \frac{2}{z-1}. \]
步骤 2：圆环 $ 0 < |z| < 1 $ 的洛朗级数展开
在圆环 $ 0 < |z| < 1 $ 内，使用几何级数展开 $ \frac{2}{z-1} = -2 \sum_{n=0}^{\infty} z^n $，得到：
\[ f(z) = -\frac{1}{z^2} - \frac{2}{z} - 2 \sum_{n=0}^{\infty} z^n = -\frac{1}{z^2} - 2 \sum_{n=-1}^{\infty} z^n. \]
步骤 3：圆环 $ 1 < |z| < +\infty $ 的洛朗级数展开
在圆环 $ 1 < |z| < +\infty $ 内，使用几何级数展开 $ \frac{2}{z-1} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n} $，得到：
\[ f(z) = -\frac{2}{z} - \frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{z^n} = \frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{z^n} = \frac{1}{z^2} + 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^{n+3}}. \]