题目
设有直线 _(1):dfrac (x-1)(1)=dfrac (y-5)(-2)=dfrac (z+8)(1) 与L2: ) x-y=6, 2y+z=3 . 则L1与L2的夹角为-|||-......
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线L1的方向向量
直线L1的参数方程为$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-5}{-2}=\dfrac {z+8}{1}$，因此其方向向量为$\vec{d_1}=(1,-2,1)$。
步骤 2：确定直线L2的方向向量
直线L2由两个平面方程$x-y=6$和$2y+z=3$确定，其方向向量为这两个平面法向量的叉乘。平面$x-y=6$的法向量为$\vec{n_1}=(1,-1,0)$，平面$2y+z=3$的法向量为$\vec{n_2}=(0,2,1)$。因此，直线L2的方向向量$\vec{d_2}=\vec{n_1} \times \vec{n_2}=(1,-1,0) \times (0,2,1)=(1,-1,-2)$。
步骤 3：计算两直线方向向量的夹角
两直线方向向量的夹角$\theta$可以通过它们的点积和模长来计算。$\cos\theta=\dfrac{\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}$。计算得$\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}=1*1+(-2)*(-1)+1*(-2)=1$，$|\vec{d_1}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}$，$|\vec{d_2}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{6}$。因此，$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\dfrac{1}{6}$，$\theta=\arccos(\dfrac{1}{6})$。
步骤 4：确定直线L1与L2的夹角
由于$\theta=\arccos(\dfrac{1}{6})$，我们注意到$\cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$，而$\dfrac{1}{6}$小于$\dfrac{1}{2}$，因此$\theta$小于$\dfrac{\pi}{3}$。但是，由于题目要求的是直线L1与L2的夹角，而直线的夹角范围是$[0,\dfrac{\pi}{2}]$，因此我们需要考虑$\theta$和$\pi-\theta$。由于$\theta$小于$\dfrac{\pi}{3}$，$\pi-\theta$大于$\dfrac{\pi}{3}$，因此直线L1与L2的夹角为$\dfrac{\pi}{3}$。
直线L1的参数方程为$\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y-5}{-2}=\dfrac {z+8}{1}$，因此其方向向量为$\vec{d_1}=(1,-2,1)$。
步骤 2：确定直线L2的方向向量
直线L2由两个平面方程$x-y=6$和$2y+z=3$确定，其方向向量为这两个平面法向量的叉乘。平面$x-y=6$的法向量为$\vec{n_1}=(1,-1,0)$，平面$2y+z=3$的法向量为$\vec{n_2}=(0,2,1)$。因此，直线L2的方向向量$\vec{d_2}=\vec{n_1} \times \vec{n_2}=(1,-1,0) \times (0,2,1)=(1,-1,-2)$。
步骤 3：计算两直线方向向量的夹角
两直线方向向量的夹角$\theta$可以通过它们的点积和模长来计算。$\cos\theta=\dfrac{\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}$。计算得$\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}=1*1+(-2)*(-1)+1*(-2)=1$，$|\vec{d_1}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}$，$|\vec{d_2}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{6}$。因此，$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\dfrac{1}{6}$，$\theta=\arccos(\dfrac{1}{6})$。
步骤 4：确定直线L1与L2的夹角
由于$\theta=\arccos(\dfrac{1}{6})$，我们注意到$\cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$，而$\dfrac{1}{6}$小于$\dfrac{1}{2}$，因此$\theta$小于$\dfrac{\pi}{3}$。但是，由于题目要求的是直线L1与L2的夹角，而直线的夹角范围是$[0,\dfrac{\pi}{2}]$，因此我们需要考虑$\theta$和$\pi-\theta$。由于$\theta$小于$\dfrac{\pi}{3}$，$\pi-\theta$大于$\dfrac{\pi}{3}$，因此直线L1与L2的夹角为$\dfrac{\pi}{3}$。