设f(x,y)在整个平面上连续有界,对y有连续偏导数,试证明:-|||-方程 dfrac (dy)(dx)=f(x,y) 的任一解 =varphi (x) 在区间 (-infty ,+infty ) 上有定义.

考查要点：本题主要考查微分方程解的存在唯一性与延拓定理的应用，重点在于利用已知条件（函数有界、连续偏导数）推导解的存在区间。

解题核心思路：

1. 反证法：假设解的存在区间有限，通过积分方程形式估计解的上界，得出矛盾。
2. 关键条件：
   • f(x,y)有界：保证积分结果线性增长，解整体有界。
   • f对y连续可微：隐含局部Lipschitz条件，结合有界性确保解可无限延拓。
3. 定理应用：若解在有限端点处有界，则可继续延拓，与假设矛盾，故解存在区间必为全体实数。

反证法步骤

假设存在有限右端点

假设解的存在区间为 $[x_0, \beta)$（$\beta < +\infty$），则解 $y(x)$ 在 $[x_0, \beta)$ 上存在且满足积分方程：
$y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(s, y(s)) \, ds.$

估计解的上界

由 $f$ 有界，存在 $M > 0$ 使得 $|f(s, y(s))| \leq M$，故：
$|y(x) - y_0| \leq \int_{x_0}^x |f(s, y(s))| \, ds \leq M(x - x_0).$
特别地，当 $x \to \beta^-$ 时：
$|y(x)| \leq |y_0| + M(\beta - x_0) = M_1 < +\infty.$
这表明 $y(x)$ 在 $\beta$ 处有界。

矛盾与延拓

根据解的延拓定理，若解在有限端点 $\beta$ 处有界，则解可延拓至 $\beta$，与假设 $\beta$ 是存在区间的右端点矛盾。因此，解的存在区间必为 $[x_0, +\infty)$。同理可证左行解存在区间为 $(-\infty, x_0]$，故整体解存在区间为 $(-\infty, +\infty)$。