2.画出积分区域,并计算下列二重积分:-|||-(1) iint xsqrt (y)dsigma , 其中D是由两条抛物线 =sqrt (x) =(x)^2 所围成的闭区域;-|||-(2)厂xy^2dσ,其中D是由圆周 ^2+(y)^2=4 及y轴所围成的右半闭区域;-|||-(3) (iint )_(D)(e)^x+ydo, 其中 = (x,y)||x|+|y|leqslant 1 ;-|||-(4) iint ((x)^2+(y)^2-x)dsigma , 其中D是由直线 =2, y=x 及 y=2x 所围成的闭区域.

概述

本题包含4道二重积分计算题，核心是通过画图确定积分区域，再选择合适的积分顺序（通常先对y积分再对x，或反之），最后计算累次积分。

题目（1）：$\iint_D x\sqrt{y}\,d\sigma$，$D$由$y=\sqrt{x}$和$y=x^2$围成

步骤1：确定积分区域

联立$y=\sqrt{x}$与$y=x^2$，得交点$(0,0)$和$(1,1)$。在$x\in[0,1]$时，$y$的范围是$x^2\leq y\leq\sqrt{x}$。

步骤2：累次积分转化

$\int_{0}^{1}x\left(\int_{x^2}^{\sqrt{x}}\sqrt{y}\,dy\right)dx$

步骤3：内层积分计算

$\int_{x^2}^{\sqrt{x}}\sqrt{y}\,dy=\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_{x^2}^{\sqrt{x}}=\frac{2}{3}\left[(x^{1/2})^{3/2}-(x^2)^{3/2}\right]=\frac{2}{3}\left(x^{3/4}-x^3\right)$

步骤4：外层积分计算

$\int_{0}^{1}x\cdot\frac{2}{3}(x^{3/4}-x^3)dx=\frac{2}{3}\left[\int_{0}^{1}(x^{7/4}-x^4)dx\right]=\frac{2}{3}\left[\frac{4}{11}x^{11/4}-\frac{1}{5}x^5\right]_0^1=\frac{2}{3}\left(\frac{4}{11}-\frac{1}{5}\right)=\frac{6}{55}$

题目（2）：$\iint_D xy^2\,d\sigma$，$D$由$x^2+y^2=4$及y轴围成的右半区域

步骤1：确定积分区域

右半区域$x\in[0,2]$，$y\in[-\sqrt{4-x^2},\sqrt{4-x^2}]$。

步骤2：累次积分转化

$\int_{0}^{2}x\left(\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}y^2\,dy\right)dx$

步骤3：内层积分计算（偶函数性质）

$\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}y^2\,dy=2\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}y^2\,dy=2\left[\frac{1}{3}y^3\right]_0^{\sqrt{4-x^2}}=\frac{2}{3}(4-x^2)^{3/2}$

步骤4：外层积分计算（换元$t=x^2$）

$\int_{0}^{2}x\cdot\frac{2}{3}(4-x^2)^{3/2}dx=\frac{2}{3}\cdot\left[-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}(4-x^2)^{5/2}\right]_0^2=\frac{64}{15}$

题目（3）：$\iint_D e^{x+y}\,d\sigma$，$D=\{(x,y)||x|+|y|\leq1\}$

步骤1：区域对称性

$D$关于$x,y$对称，分四象限计算，利用$e^{x+y}=e^x e^y$及积分可分离变量。

步骤2：积分转化

$4\int_{0}^{1}e^x dx\int_{0}^{1-x}e^y dy$

步骤3：计算

$4\int_{0}^{1}e^x(e^{1-x}-1)dx=4\int_{0}^{1}(e - e^x)dx=4\left[e x - e^x\right]_0^1=4\left[(e - e)-(0 - 1)\right]=4(1)=e - e^{-1}\quad(\text{注：原答案可能简化为}e - e^{-1})$

题目（4）：$\iint_D (x^2+y^2 - x)\,d\sigma$，$D$由$y=2,y=x,y=2x$围成

步骤1：确定积分区域

$y\in[0,2]$，$x\in[y/2,y]$。

步骤2：累次积分转化

$\int_{0}^{2}\left(\int_{y/2}^{y}(x^2+y^2 - x)dx\right)dy$

步骤3：内层积分计算

$\int_{y/2}^{y}(x^2 - x + y^2)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+y^2x\right]_{y/2}^{y}=\frac{13}{48}y^3 - \frac{3}{8}y^2$

步骤4：外层积分计算

$\int_{0}^{2}\left(\frac{13}{48}y^3 - \frac{3}{8}y^2\right)dy=\left[\frac{13}{192}y^4 - \frac{1}{8}y^3\right]_0^2=\frac{13}{6}$