题目

练习1 如A^2=AB，则A^n=AB^n-1.

练习1 $如A^{2}=AB，则A^{n}=AB^{n-1}.$

题目解答

答案

为了证明 $ A^n = AB^{n-1} $ 对于 $ A^2 = AB $ 成立，我们可以使用数学归纳法。数学归纳法包含两个步骤：基础情况和归纳步骤。 ### 基础情况 首先，我们检查 $ n = 1 $ 时的情况。根据定义， $ A^1 = A $。而 $ AB^{1-1} = AB^0 = A \cdot I = A $（其中 $ I $ 是单位矩阵）。因此， $ A^1 = AB^0 $ 成立。 ### 归纳步骤 假设 $ A^k = AB^{k-1} $ 对于某个正整数 $ k $ 成立。我们需要证明 $ A^{k+1} = AB^k $ 也成立。 从 $ A^k = AB^{k-1} $ 出发，我们两边同时乘以 $ A $： \[ A^{k+1} = A \cdot A^k = A \cdot AB^{k-1} = A^2 B^{k-1}. \] 根据题目给定的条件 $ A^2 = AB $，我们代入 $ A^2 $： \[ A^{k+1} = AB B^{k-1} = A B^k. \] Thus, $ A^{k+1} = A B^k $ 成立。 ### 结论 根据数学归纳法， $ A^n = A B^{n-1} $ 对于所有正整数 $ n $ 成立。 因此，答案是 $\boxed{A^n = A B^{n-1}}$.

解析

本题主要考察利用数学归纳法证明矩阵等式$A^n = AB^{n-1}$（已知$A^2 = AB$），核心是通过归纳法的“基础情况”和“归纳步骤”验证等式对所有正整数$n$成立。

基础情况（$n=1$）

当$n=1$时，左边$A^1 = A$；右边$AB^{1-1} = AB^0 = A \cdot I = A$（$I$为单位矩阵，$B^0=I$），显然左边=右边，等式成立。

归纳步骤

假设对某个正整数$k$，等式$A^k = AB^{k-1}$成立（归纳假设）。需证明$A^{k+1} = AB^k$：

  • 从$A^k = AB^{k-1}$两边同乘$A$：$A^{k+1} = A \cdot A^k = A(AB^{k-1}) = A^2B^{k-1}$；
  • 代入已知条件$A^2 = AB$：$A^2B^{k-1} = AB \cdot B^{k-1} = AB^k$，即$A^{k+1} = AB^k$，等式成立。

结论

由数学归纳法，对所有正整数$n$，$A^n = AB^{n-1}$均成立。