(x,y)neq (a,b)} 是否相同?-|||-3.证明:当且仅当存在各点互不相同的点列 {P)_(n)} CE _(n)neq (P)_(0), lim _(narrow infty )(P)_(n)=(P)_(0) 时,P0是E的聚点.-|||-4.证明:闭域必为闭集.举例说明反之不真.-|||-5.对任何点集SC R^2,导集S"亦为闭集.-|||-6.证明:点列(Pn(xn,yn))收敛于P0 (x0,y0)的充要条件是 lim (x)_(n)=(x)_(0) 和 lim (y)_(n)=(y)_(0)

考查要点：本题主要考查闭集与闭域的关系，以及闭集的定义与性质。需要明确闭域是闭集的证明思路，同时理解闭集不一定是闭域的反例构造。

解题核心：

1. 闭域的定义：闭域是既闭又紧的集合（在欧几里得空间中，闭域即有界闭集）。
2. 闭集的定义：包含所有聚点的集合。
3. 关键思路：闭域作为有界闭集，必然满足闭集的条件；但闭集可以无界，因此反例需构造一个无界的闭集。

破题关键：

• 正向证明：利用闭域的有界性和闭集的定义，结合聚点定理。
• 反例构造：寻找一个无界的闭集（如射线、闭球的补集等）。

第（1）题：证明闭域必为闭集

步骤1：明确闭域与闭集的关系

闭域是有界闭集，而闭集是包含所有聚点的集合。因此，闭域的有界性是额外条件。

步骤2：应用聚点定理

在欧几里得空间中，有界无限点集必有收敛子列（聚点定理）。闭域作为有界闭集，若点列在闭域中收敛，则极限点必属于该闭域（因闭域是闭集），故闭域是闭集。

步骤3：形式化证明

设闭域 $D$ 中任意点列 $\{P_n\}$ 收敛于 $P_0$，则 $P_0$ 必属于 $D$（因 $D$ 是闭集且有界）。因此 $D$ 是闭集。

第（2）题：举例说明闭集不一定是闭域

步骤1：构造无界闭集

例如，集合 $E = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 0, x \geq 0\}$（非负 $x$ 轴）是闭集，但不是闭域。

步骤2：验证闭集性质

$E$ 是闭集，因为它是闭区间的直积（$\mathbb{R} \times \{0\}$ 的子集），且包含所有聚点。

步骤3：说明非闭域原因

$E$ 是无界的（沿 $x$ 轴无限延伸），而闭域要求有界，因此 $E$ 不是闭域。