3【单选题】若函数f(x)在区间[a,b]上连续，Phi(x)=int_(0)^xf(t)dt，则下列说法错误的是（）A Phi(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数.B Phi(x)=int_(0)^xf(t)dt的定义域为[a,b].C Phi^prime(x^2)=(int_(0)^x^(2)f(t)dt)^prime=2xf(x^2).D Phi^prime(x)=(int_(0)^xf(t)dt)^prime=f(x).
题目解答
答案
根据微积分基本定理，$\Phi'(x) = f(x)$，即$\Phi(x)$是$f(x)$的原函数，但需满足$0 \in [a, b]$。
选项分析：
- A：若$0 \notin [a, b]$，则$\Phi(x)$在$[a, b]$上无定义，错误。
- B：$\Phi(x)$定义域包含$0$，若$0 \notin [a, b]$，则不成立。
- C：变上限积分求导得$2xf(x^2)$，正确。
- D：直接应用基本定理，正确。
答案：A（依赖$0 \in [a, b]$，否则不成立）
解析
本题主要考察变上限积分函数的性质及微积分基本定理的应用，需逐一分析各选项的正确性：
选项A分析
$\Phi(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$是$f(x)$的原函数的前提是$\Phi(x)$在$[a,b]$上有定义。若$0\notin[a,b]$，则当$x\in[a,b]$时，积分$\int_{0}^{x}f(t)dt$的下限$0$可能超出$f(x)$的连续区间$[a,b]$，导致$\Phi(x)$在$[a,b]$上无定义，自然不是$f(x)$在$[a,b]$上的原函数。因此A的说法错误（依赖$0\in[a,b]$，否则不成立）。
选项B分析
$\hi(x)的定义域需满足积分$\int_{0}^{x}f(t)dt$有意义，即$0$和$x$均需在$f(t)$的连续区间内。若$0\notin[a,b]$，则$\Phi(x)$在$[a,b]$上无定义，故“$\Phi(x)$的定义域为$[a,b]$”的说法不总是成立，但题目问的是“说法错误的是”，A的错误更直接（原函数要求在区间上有定义），B的问题是定义域可能不包含$[a,b]$为，接受，开始执行]。
选项C分析
根据复合函数求导法则，对$\int_{0}^{x^2}f(t)dt$求导：令$u=x^2$，则导数为$f(u)\cdot u'=f(x^2)\cdot2x=2xf(x^2)$，C正确。
选项D分析
直接应用微积分基本定理：若$f(t)$在$[0,x]$上连续，则$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}f(t)dt=f(x)$，D正确。