题目
[题目]求一个次数不高于四次的多项式P(x),使-|||-它满足 (0)=P'(0)=0 (1)=P'(1)=1 ,P(2)=1。
题目解答
答案
解析
步骤 1：设多项式
设 $P(x)=a{x}^{4}+b{x}^{3}+c{x}^{2}+dx+e$ ,其中 $a,b,c,d,e$ 是待定系数。
步骤 2：利用给定条件
根据给定条件，我们有：
- $P(0)=e=0$
- $P'(0)=d=0$
- $P(1)=a+b+c+d+e=1$
- $P'(1)=4a+3b+2c+d=1$
- $P(2)=16a+8b+4c+2d+e=1$
步骤 3：解方程组
由上述条件，我们得到方程组：
$\left \{ \begin{matrix} a+b+c+d+e=1\\ 4a+3b+2c+d=1\\ 16a+8b+4c+2d+e=1\\ e=0\\ d=0\end{matrix} \right.$
简化方程组，得到：
$\left \{ \begin{matrix} a+b+c=1\\ 4a+3b+2c=1\\ 16a+8b+4c=1\end{matrix} \right.$
步骤 4：求解系数
解上述方程组，得到：
$\left \{ \begin{matrix} a=\dfrac {1}{4}\\ b=-\dfrac {3}{2}\\ c=\dfrac {9}{4}\end{matrix} \right.$
设 $P(x)=a{x}^{4}+b{x}^{3}+c{x}^{2}+dx+e$ ,其中 $a,b,c,d,e$ 是待定系数。
步骤 2：利用给定条件
根据给定条件，我们有：
- $P(0)=e=0$
- $P'(0)=d=0$
- $P(1)=a+b+c+d+e=1$
- $P'(1)=4a+3b+2c+d=1$
- $P(2)=16a+8b+4c+2d+e=1$
步骤 3：解方程组
由上述条件，我们得到方程组：
$\left \{ \begin{matrix} a+b+c+d+e=1\\ 4a+3b+2c+d=1\\ 16a+8b+4c+2d+e=1\\ e=0\\ d=0\end{matrix} \right.$
简化方程组，得到：
$\left \{ \begin{matrix} a+b+c=1\\ 4a+3b+2c=1\\ 16a+8b+4c=1\end{matrix} \right.$
步骤 4：求解系数
解上述方程组，得到：
$\left \{ \begin{matrix} a=\dfrac {1}{4}\\ b=-\dfrac {3}{2}\\ c=\dfrac {9}{4}\end{matrix} \right.$