设A,B为随机事件,则P(A)=P(B)的充分必要条件是()。 A P(A∪B)=P(A)+P(B) B P(AB)P(A.)P(B.) C. P(Aoverline(B))=P(Boverline(A)) D. P(AB)=P(overline(AB))

考查要点：本题主要考查概率论中事件概率相等的充要条件，涉及事件的独立性、互斥性、差事件及对立事件的概率关系。

解题核心思路：
需要判断每个选项是否能与$P(A)=P(B)$互为充分必要条件。关键在于：

1. 充分性：若选项成立，则必然推出$P(A)=P(B)$；
2. 必要性：若$P(A)=P(B)$，则选项中的等式必然成立。

破题关键点：

• 选项C通过差事件的概率关系直接建立$P(A)$与$P(B)$的等式，是充要条件；
• 其他选项（如独立性、互斥性等）仅能形成单向推导或无必然联系。

选项分析

选项A：$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

• 推导：根据概率加法公式，$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$。若等式成立，则$P(AB) = 0$，即$A$与$B$互斥。
• 结论：互斥事件的概率不一定相等（例如$P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$），故不充分。

选项B：$P(AB) = P(A)P(B)$

• 推导：此式表示$A$与$B$独立，但独立事件的概率无必然相等关系（例如$P(A)=0.2$，$P(B)=0.5$）。
• 结论：不充分。

选项C：$P(A\overline{B}) = P(B\overline{A})$

• 推导：
  • $P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$
  • $P(B\overline{A}) = P(B) - P(AB)$
  • 若两者相等，则$P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)$，即$P(A) = P(B)$。
• 必要性：若$P(A)=P(B)$，则$P(A\overline{B}) = P(B\overline{A})$必然成立。
• 结论：充分且必要。

选项D：$P(AB) = P(\overline{A}\overline{B})$

• 推导：
  • $P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(AB)]$
  • 若等式成立，则$P(AB) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB)$，整理得$P(A) + P(B) = 1$。
• 结论：概率和为1与$P(A)=P(B)$无必然联系（例如$P(A)=0.6$，$P(B)=0.4$），故不充分。