题目
计算int_(L)y^2dx+sin xdy=____，式中L是A(0，1)沿曲线y=cos x到B((pi)/(4),(sqrt(2))/(2))的一段.
计算$\int_{L}y^{2}dx+\sin xdy=$____，式中L是A(0，1)沿曲线y=cos x到$B(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2})$的一段.
题目解答
答案
将曲线 $L$ 表示为 $y = \cos x$，则 $dy = -\sin x \, dx$。代入积分得：
\[
\int_{L} y^2 \, dx + \sin x \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[ \cos^2 x \, dx + \sin x \, (-\sin x \, dx) \right] = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x - \sin^2 x) \, dx.
\]
利用二倍角公式 $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$，得：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 \right) = \frac{1}{2}.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$
解析
步骤 1：参数化曲线
将曲线 $L$ 表示为 $y = \cos x$，则 $dy = -\sin x \, dx$。
步骤 2：代入积分
代入积分得： \[ \int_{L} y^2 \, dx + \sin x \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[ \cos^2 x \, dx + \sin x \, (-\sin x \, dx) \right] = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x - \sin^2 x) \, dx. \]
步骤 3：利用二倍角公式
利用二倍角公式 $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$，得： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 \right) = \frac{1}{2}. \]
将曲线 $L$ 表示为 $y = \cos x$，则 $dy = -\sin x \, dx$。
步骤 2：代入积分
代入积分得： \[ \int_{L} y^2 \, dx + \sin x \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[ \cos^2 x \, dx + \sin x \, (-\sin x \, dx) \right] = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos^2 x - \sin^2 x) \, dx. \]
步骤 3：利用二倍角公式
利用二倍角公式 $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$，得： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 \right) = \frac{1}{2}. \]