【题目】一批产品共100件,次品率为10%,每次从中任取一件,取后不放回.求连取三次而在第三次取到合格品的概率

考查要点：本题主要考查不放回抽样中的条件概率计算，需要理解事件的连续性和每次抽取后剩余物品数量的变化。

解题核心思路：
题目要求“第三次才取到合格品”，即前两次均为次品，第三次为合格品。需分步计算每次抽取的概率，并用乘法原理相乘。

破题关键点：

1. 明确事件顺序：第一次和第二次必须抽到次品，第三次抽到合格品。
2. 动态调整剩余数量：每次抽取后，次品数和总数递减，需正确更新概率。
3. 分步计算并相乘：将三次抽取的概率依次相乘，注意约分简化计算。

设事件$A_i$表示第$i$次抽到次品（$i=1,2$），事件$B$表示第三次抽到合格品。所求概率为$P(A_1 \cap A_2 \cap B)$。

第一次抽到次品的概率

初始有10件次品，总产品100件，故：
$P(A_1) = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}.$

第二次抽到次品的概率

第一次抽走1件次品后，剩余9件次品和99件产品，故：
$P(A_2|A_1) = \frac{9}{99} = \frac{3}{33} = \frac{1}{11}.$

第三次抽到合格品的概率

前两次共抽走2件次品，剩余次品8件，合格品仍为90件，总产品98件，故：
$P(B|A_1 \cap A_2) = \frac{90}{98} = \frac{45}{49}.$

总概率计算

根据乘法原理：
$\begin{aligned}P(A_1 \cap A_2 \cap B) &= P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(B|A_1 \cap A_2) \\&= \frac{10}{100} \cdot \frac{9}{99} \cdot \frac{90}{98} \\&= \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{11} \cdot \frac{45}{49} \\&= \frac{45}{5390} \\&= \frac{9}{1078} \approx 0.0083.\end{aligned}$