题目

4.（5.0分）设A，B，C，D均为n阶矩阵，满足ABCD=E，其中E为n阶单位矩阵，则（）A. CABD=EB. CDAB=EC. CDBA=ED. CADB=E

4.（5.0分）设A，B，C，D均为n阶矩阵，满足ABCD=E，其中E为n阶单位矩阵，则（）

A. CABD=E

B. CDAB=E

C. CDBA=E

D. CADB=E

题目解答

答案

B. CDAB=E

解析

本题考查矩阵乘法的结合律以及逆矩阵的性质。解题的关键在于利用矩阵乘法结合律对已知等式进行变形，再依据逆矩阵的性质得出结论。

  • 已知$ABCD = E$，根据矩阵乘法的结合律$(AB)(CD)=ABCD$，所以$(AB)(CD) = E$。
  • 对于$n$阶矩阵$X$和$Y$，若$XY = E$，根据逆矩阵的定义可知$X$和$Y$互为逆矩阵，且逆矩阵满足$YX = E$。
    • 在$(AB)(CD) = E$中，令$X = AB$，$Y = CD$，那么就有$(CD)(AB) = E$。
    • 又因为矩阵乘法满足结合律$(CD)(AB)=CDAB$，所以$CDAB = E$。
  • 对于选项A、C、D，仅根据已知条件$ABCD = E$，无法通过矩阵的运算法则直接推导出$CABD = E$、$CDBA = E$、$CADB = E$。