题目
[题目]-|||-求微分方程 dfrac (dy)(dx)=(e)^dfrac (y{x)}+dfrac (y)(x) 的通解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：引入变量替换
令 $\dfrac {y}{x}=u$ ,则 $y=ux$ ,对 $x$ 求导得 $\dfrac {dy}{dx}=u+x\dfrac {du}{dx}$.
步骤 2：代入原方程
将 $\dfrac {dy}{dx}=u+x\dfrac {du}{dx}$ 代入原方程 $\dfrac {dy}{dx}={e}^{\dfrac {y}{x}}+\dfrac {y}{x}$, 得到 $u+x\dfrac {du}{dx}={e}^{u}+u$.
步骤 3：分离变量
化简得到 $x\dfrac {du}{dx}={e}^{u}$, 即 $\dfrac {du}{{e}^{u}}=\dfrac {dx}{x}$.
步骤 4：积分求解
对两边积分，得到 $\int \dfrac {du}{{e}^{u}}=\int \dfrac {dx}{x}$, 即 $-\int {e}^{-u}du=\int \dfrac {dx}{x}$.
步骤 5：计算积分
计算积分得到 $-{e}^{-u}=\ln |x|+C$, 其中 $C$ 是积分常数.
步骤 6：回代变量
将 $u=\dfrac {y}{x}$ 回代，得到 $-{e}^{-\dfrac {y}{x}}=\ln |x|+C$.
步骤 7：整理方程
整理得到 ${e}^{-\dfrac {y}{x}}=-\ln |x|-C$.
令 $\dfrac {y}{x}=u$ ,则 $y=ux$ ,对 $x$ 求导得 $\dfrac {dy}{dx}=u+x\dfrac {du}{dx}$.
步骤 2：代入原方程
将 $\dfrac {dy}{dx}=u+x\dfrac {du}{dx}$ 代入原方程 $\dfrac {dy}{dx}={e}^{\dfrac {y}{x}}+\dfrac {y}{x}$, 得到 $u+x\dfrac {du}{dx}={e}^{u}+u$.
步骤 3：分离变量
化简得到 $x\dfrac {du}{dx}={e}^{u}$, 即 $\dfrac {du}{{e}^{u}}=\dfrac {dx}{x}$.
步骤 4：积分求解
对两边积分，得到 $\int \dfrac {du}{{e}^{u}}=\int \dfrac {dx}{x}$, 即 $-\int {e}^{-u}du=\int \dfrac {dx}{x}$.
步骤 5：计算积分
计算积分得到 $-{e}^{-u}=\ln |x|+C$, 其中 $C$ 是积分常数.
步骤 6：回代变量
将 $u=\dfrac {y}{x}$ 回代，得到 $-{e}^{-\dfrac {y}{x}}=\ln |x|+C$.
步骤 7：整理方程
整理得到 ${e}^{-\dfrac {y}{x}}=-\ln |x|-C$.