题目
下列说法正确的是 A 任意一个 n 级 排列都可以经过一系列的对换变成排列 123 . . n .B 每作一次对换不改变排列的奇偶性 . C 如果 n ( n > 1 ) 阶行列式的值等于零， 则行列式中必有一行全为零 . D 如果 n ( n > 1 ) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例
下列说法正确的是
A 任意一个 n 级 排列都可以经过一系列的对换变成排列 123 . . n .
B 每作一次对换不改变排列的奇偶性 .
C 如果 n ( n > 1 ) 阶行列式的值等于零， 则行列式中必有一行全为零 .
D 如果 n ( n > 1 ) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例
题目解答
答案
A、当n=2时,结论显然成立.假定对n-1元排列结论成立,再证对n元排列x…
结论也成立.
若
=n，则
是1,2,…，n-1的一个n-1元排列,于是由归纳假设知,可对 进行不多于 n-1次的对换变成12…(n-1).若≠n，设
=n(i<n),则可先对
进行对换，得
.故正确
B、一次对换可以改变排列的奇偶性，故错误
C、考查基本定理，故错误
D、如果 n ( n > 1 ) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行（列）成比例，反之也对，故正确
解析
步骤 1：分析选项A
任意一个 n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列 123...n。当n=2时，结论显然成立。假定对n-1元排列结论成立，再证对n元排列x…${x}_{n}-{x}_{n}$结论也成立。若ux=n，则${x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n-1}$是1,2,…，n-1的一个n-1元排列,于是由归纳假设知,可对${x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n-1}$ 进行不多于 n-1次的对换变成12…(n-1)。若ux≠n，设xi=n(i步骤 2：分析选项B
一次对换可以改变排列的奇偶性，故错误。
步骤 3：分析选项C
如果 n ( n > 1 ) 阶行列式的值等于零，不一定行列式中必有一行全为零，故错误。
步骤 4：分析选项D
如果 n ( n > 1 ) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行（列）成比例，反之也对，故正确。
任意一个 n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列 123...n。当n=2时，结论显然成立。假定对n-1元排列结论成立，再证对n元排列x…${x}_{n}-{x}_{n}$结论也成立。若ux=n，则${x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n-1}$是1,2,…，n-1的一个n-1元排列,于是由归纳假设知,可对${x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n-1}$ 进行不多于 n-1次的对换变成12…(n-1)。若ux≠n，设xi=n(i
一次对换可以改变排列的奇偶性，故错误。
步骤 3：分析选项C
如果 n ( n > 1 ) 阶行列式的值等于零，不一定行列式中必有一行全为零，故错误。
步骤 4：分析选项D
如果 n ( n > 1 ) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行（列）成比例，反之也对，故正确。