题目
1.一质点沿半径为R的圆周按 =(v)_(0)t-dfrac (1)(2)b(t)^2 的规律运动,式中s为质点离圆周上某点的-|||-弧长,v0、b都是常量.求:(1)t时刻质点的加速度;(2)t为何值时,加速度在数值上等于b.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算质点的速度
根据题目给出的运动规律 $s={v}_{0}t-\dfrac {1}{2}b{t}^{2}$，我们可以求出质点的速度v。速度是位移对时间的导数，因此我们对s求导得到v。
$v=\dfrac {ds}{dt}={v}_{0}-bt$
步骤 2：计算质点的切向加速度
切向加速度是速度对时间的导数，因此我们对v求导得到切向加速度${a}_{t}$。
${a}_{t}=\dfrac {dv}{dt}=-b$
步骤 3：计算质点的法向加速度
法向加速度是质点沿圆周运动时，由于速度方向改变而产生的加速度，其大小为${v}^{2}/R$。将步骤1中得到的速度v代入，得到法向加速度${a}_{n}$。
${a}_{n}=\dfrac {{v}^{2}}{R}=\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{2}}{R}$
步骤 4：计算质点的总加速度
总加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和，其大小为$\sqrt {{{a}_{t}}^{2}+{{a}_{n}}^{2}}$。
$a=\sqrt {{{a}_{t}}^{2}+{{a}_{n}}^{2}}=\sqrt {{b}^{2}+\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{4}}{{R}^{2}}}$
步骤 5：求解加速度等于b时的时间t
根据题意，当加速度a等于b时，我们有$a=b$。将步骤4中得到的a代入，解方程求得t。
$b=\sqrt {{b}^{2}+\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{4}}{{R}^{2}}}$
解得：${({v}_{0}-bt)}^{4}=0$
因此：$t=\dfrac {{v}_{0}}{b}$
根据题目给出的运动规律 $s={v}_{0}t-\dfrac {1}{2}b{t}^{2}$，我们可以求出质点的速度v。速度是位移对时间的导数，因此我们对s求导得到v。
$v=\dfrac {ds}{dt}={v}_{0}-bt$
步骤 2：计算质点的切向加速度
切向加速度是速度对时间的导数，因此我们对v求导得到切向加速度${a}_{t}$。
${a}_{t}=\dfrac {dv}{dt}=-b$
步骤 3：计算质点的法向加速度
法向加速度是质点沿圆周运动时，由于速度方向改变而产生的加速度，其大小为${v}^{2}/R$。将步骤1中得到的速度v代入，得到法向加速度${a}_{n}$。
${a}_{n}=\dfrac {{v}^{2}}{R}=\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{2}}{R}$
步骤 4：计算质点的总加速度
总加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和，其大小为$\sqrt {{{a}_{t}}^{2}+{{a}_{n}}^{2}}$。
$a=\sqrt {{{a}_{t}}^{2}+{{a}_{n}}^{2}}=\sqrt {{b}^{2}+\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{4}}{{R}^{2}}}$
步骤 5：求解加速度等于b时的时间t
根据题意，当加速度a等于b时，我们有$a=b$。将步骤4中得到的a代入，解方程求得t。
$b=\sqrt {{b}^{2}+\dfrac {{({v}_{0}-bt)}^{4}}{{R}^{2}}}$
解得：${({v}_{0}-bt)}^{4}=0$
因此：$t=\dfrac {{v}_{0}}{b}$