题目
求微分方程''+2y'-3y=2(e)^x的一个特解
求微分方程
的一个特解
题目解答
答案
非齐次线性微分方程对应齐次方程的特征方程为：
,解得
设特解为
，将代入方程得A=1/2，则
解析
步骤 1：求解齐次方程的特征方程
首先，我们求解对应的齐次方程$y''+2y'-3y=0$的特征方程。特征方程为${r}^{2}+2r-3=0$。解这个二次方程，我们得到$r=-3$和$r=1$。因此，齐次方程的通解为$y=C_{1}{e}^{-3x}+C_{2}{e}^{x}$，其中$C_{1}$和$C_{2}$是任意常数。
步骤 2：寻找非齐次方程的特解
由于非齐次项为$2{e}^{x}$，且$e^{x}$是齐次方程的解之一，因此我们假设特解的形式为$y^{*}=Ax{e}^{x}$，其中$A$是待定系数。接下来，我们需要计算$y^{*}$的导数并代入原方程中求解$A$。
步骤 3：计算特解的导数并代入原方程
计算$y^{*}$的导数：$y^{*'}=A{e}^{x}+Ax{e}^{x}$，$y^{*''}=2A{e}^{x}+Ax{e}^{x}$。将$y^{*}$，$y^{*'}$和$y^{*''}$代入原方程$y''+2y'-3y=2{e}^{x}$中，得到$2A{e}^{x}+Ax{e}^{x}+2(A{e}^{x}+Ax{e}^{x})-3Ax{e}^{x}=2{e}^{x}$。化简后得到$4A{e}^{x}=2{e}^{x}$，从而解得$A=\dfrac{1}{2}$。
首先，我们求解对应的齐次方程$y''+2y'-3y=0$的特征方程。特征方程为${r}^{2}+2r-3=0$。解这个二次方程，我们得到$r=-3$和$r=1$。因此，齐次方程的通解为$y=C_{1}{e}^{-3x}+C_{2}{e}^{x}$，其中$C_{1}$和$C_{2}$是任意常数。
步骤 2：寻找非齐次方程的特解
由于非齐次项为$2{e}^{x}$，且$e^{x}$是齐次方程的解之一，因此我们假设特解的形式为$y^{*}=Ax{e}^{x}$，其中$A$是待定系数。接下来，我们需要计算$y^{*}$的导数并代入原方程中求解$A$。
步骤 3：计算特解的导数并代入原方程
计算$y^{*}$的导数：$y^{*'}=A{e}^{x}+Ax{e}^{x}$，$y^{*''}=2A{e}^{x}+Ax{e}^{x}$。将$y^{*}$，$y^{*'}$和$y^{*''}$代入原方程$y''+2y'-3y=2{e}^{x}$中，得到$2A{e}^{x}+Ax{e}^{x}+2(A{e}^{x}+Ax{e}^{x})-3Ax{e}^{x}=2{e}^{x}$。化简后得到$4A{e}^{x}=2{e}^{x}$，从而解得$A=\dfrac{1}{2}$。