题目
lim _(xarrow +infty )dfrac (sin x)(sqrt {x)}=0
题目解答
答案
中，分子sinx为有界函数
分母当x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷
故
解析
步骤 1：确定分子和分母的性质
分子 $\sin x$ 是一个有界函数，其值域为 $[-1, 1]$。分母 $\sqrt{x}$ 是一个无界函数，当 $x$ 趋向于正无穷时，$\sqrt{x}$ 也趋向于正无穷。
步骤 2：应用有界函数与无界函数的极限性质
当一个有界函数与一个趋向于无穷大的无界函数相除时，其极限为0。这是因为有界函数的值始终在一定范围内，而无界函数的值可以无限增大，使得整个表达式的值趋向于0。
步骤 3：计算极限
根据上述性质，可以得出 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}=0$。
分子 $\sin x$ 是一个有界函数，其值域为 $[-1, 1]$。分母 $\sqrt{x}$ 是一个无界函数，当 $x$ 趋向于正无穷时，$\sqrt{x}$ 也趋向于正无穷。
步骤 2：应用有界函数与无界函数的极限性质
当一个有界函数与一个趋向于无穷大的无界函数相除时，其极限为0。这是因为有界函数的值始终在一定范围内，而无界函数的值可以无限增大，使得整个表达式的值趋向于0。
步骤 3：计算极限
根据上述性质，可以得出 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\sin x}{\sqrt {x}}=0$。