题目
设随机变量X1,X 2,···,Xn均服从区间(0,1)的均匀分-|||-布,求 =min {X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)} 的密度函数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布函数
随机变量X服从区间(0,1)的均匀分布，其分布函数为：
\[ F(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 & x \leqslant 0 \\ x & 0 < x < 1 \\ 1 & x \geqslant 1 \end{matrix} \right. \]
步骤 2：求Z的分布函数
Z=min{X1,X2,...,Xn}的分布函数定义为：
\[ F_Z(x) = 1 - [1 - F(x)]^n \]
其中，F(x)是X的分布函数。将F(x)代入上式，得到：
\[ F_Z(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 & x \leqslant 0 \\ 1 - (1 - x)^n & 0 < x < 1 \\ 1 & x \geqslant 1 \end{matrix} \right. \]
步骤 3：求Z的密度函数
Z的密度函数f_Z(x)是Z的分布函数F_Z(x)的导数。对F_Z(x)求导，得到：
\[ f_Z(x) = \left \{ \begin{matrix} n(1 - x)^{n-1} & 0 < x < 1 \\ 0 & 其它 \end{matrix} \right. \]
随机变量X服从区间(0,1)的均匀分布，其分布函数为：
\[ F(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 & x \leqslant 0 \\ x & 0 < x < 1 \\ 1 & x \geqslant 1 \end{matrix} \right. \]
步骤 2：求Z的分布函数
Z=min{X1,X2,...,Xn}的分布函数定义为：
\[ F_Z(x) = 1 - [1 - F(x)]^n \]
其中，F(x)是X的分布函数。将F(x)代入上式，得到：
\[ F_Z(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 & x \leqslant 0 \\ 1 - (1 - x)^n & 0 < x < 1 \\ 1 & x \geqslant 1 \end{matrix} \right. \]
步骤 3：求Z的密度函数
Z的密度函数f_Z(x)是Z的分布函数F_Z(x)的导数。对F_Z(x)求导，得到：
\[ f_Z(x) = \left \{ \begin{matrix} n(1 - x)^{n-1} & 0 < x < 1 \\ 0 & 其它 \end{matrix} \right. \]