题目

8.(本题满分12分)设函数f(x)二阶可导，lim_(xto0)(f(x)-1)/(x)=0，f(1)=(3)/(2)，证明：存在xiin(0,1)，使得xi f''(xi)+2f'(xi)=3xi.

8.(本题满分12分) 设函数f(x)二阶可导，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=0$，$f(1)=\frac{3}{2}$，证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得 $\xi f''(\xi)+2f'(\xi)=3\xi$.

题目解答

答案

由题意，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=0$，得 $f(0)=1$，$f'(0)=0$。
定义辅助函数 $F(x) = x f(x) - \frac{x^3}{2}$，则：
$F(0) = 0, \quad F(1) = f(1) - \frac{1}{2} = 1.$
由拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (0,1)$，使 $F'(\eta) = 1$。
又 $F'(0) = f(0) = 1$，故 $F'(0) = F'(\eta) = 1$。
根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,\eta)$，使 $F''(\xi) = 0$。
而 $F''(x) = 2f'(x) + x f''(x) - 3x$，故：
$2f'(\xi) + \xi f''(\xi) - 3\xi = 0 \quad \Rightarrow \quad \xi f''(\xi) + 2f'(\xi) = 3\xi.$

结论： 存在 $\xi \in (0,1)$ 满足条件。
$\boxed{\xi f''(\xi) + 2f'(\xi) = 3\xi}$

解析

本题主要考查函数极限的性质、拉格朗日中值定理以及罗尔定理的应用。解题的关键思路是先根据已知极限求出函数在某点的值和导数值，然后构造合适的辅助函数，利用拉格朗日中值定理和罗尔定理来证明存在满足条件的 $\xi$。

  1. 根据极限求出函数在某点的值和导数值：
    • 已知 $\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=0$，因为分母 $x\to0$，要使该极限存在且为 $0$，则分子 $f(x)-1$ 必须是比 $x$ 高阶的无穷小，所以 $\lim_{x\to0}(f(x)-1)=0$，即 $f(0)=1$。
    • 根据导数的定义，$f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=0$。
  2. 构造辅助函数：
    • 观察要证明的等式 $\xi f''(\xi)+2f'(\xi)=3\xi$，构造辅助函数 $F(x)=xf(x)-\frac{x^3}{2}$。
  3. 计算辅助函数在特殊点的值：
    • 计算 $F(0)$：将 $x = 0$ 代入 $F(x)$，可得 $F(0)=0\times f(0)-\frac{0^3}{2}=0$。
    • 计算 $F(1)$：已知 $f(1)=\frac{3}{2}$，将 $x = 1$ 代入 $F(x)$，可得 $F(1)=1\times f(1)-\frac{1^3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$。
  4. 应用拉格朗日中值定理：
    • 因为 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，根据拉格朗日中值定理，存在 $\eta\in(0,1)$，使得 $F^\prime(\eta)=\frac{F(1)-F(0)}{1 - 0}$。
    • 由前面计算可知 $F(1)=1$，$F(0)=0$，所以 $F^\prime(\eta)=\frac{1 - 0}{1}=1$。
  5. 计算辅助函数的一阶导数并求出 $F^\prime(0)$：
    • 对 $F(x)=xf(x)-\frac{x^3}{2}$ 求导，根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，可得 $F^\prime(x)=f(x)+xf^\prime(x)-\frac{3x^2}{2}$。
    • 将 $x = 0$ 代入 $F^\prime(x)$，可得 $F^\prime(0)=f(0)+0\times f^\prime(0)-\frac{3\times0^2}{2}=f(0)=1$。
  6. 应用罗尔定理：
    • 因为 $F^\prime(x)$ 在 $[0,\eta]$ 上连续，在 $(0,\eta)$ 内可导，且 $F^\prime(0)=F^\prime(\eta)=1$，根据罗尔定理，存在 $\xi\in(0,\eta)\subseteq(0,1)$，使得 $F^{\prime\prime}(\xi)=0$。
  7. 计算辅助函数的二阶导数并得出结论：
    • 对 $F^\prime(x)=f(x)+xf^\prime(x)-\frac{3x^2}{2}$ 求导，可得 $F^{\prime\prime}(x)=f^\prime(x)+f^\prime(x)+xf^{\prime\prime}(x)-3x=2f^\prime(x)+xf^{\prime\prime}(x)-3x$。
    • 因为 $F^{\prime\prime}(\xi)=0$，所以 $2f^\prime(\xi)+\xi f^{\prime\prime}(\xi)-3\xi=0$，移项可得 $\xi f^{\prime\prime}(\xi)+2f^\prime(\xi)=3\xi$。