10.某城市饮用水的日消费量X(单位:百万升)是随机变量,其密度函数为-|||-f(x)= )|9,xgt 0 0, .-|||-试求:(1)该城市的饮用水日消费量不低于600万升的概率;-|||-(2)饮用水日消费量介于600万升到900万升的概率.

题目分析

本题考查连续型随机变量的概率计算，涉及指数分布的概率密度函数及积分运算。题目中随机变量$X$（日消费量，单位：百万升）的密度函数为$f(x)=\begin{cases}xe^{-\frac{x}{3}/9},&x>0\\0,&x\leq0\end{cases}$，需计算两个概率：(1)$P(X\geq6)$（不低于600万升）；(2)$P(6

关键知识点

1. 连续型随机变量概率计算：$P(a
2. 指数分布的积分技巧：对于形如$\int xe^{-kx}dx$的积分，使用分部积分法：$\int xe^{-kx}dx=-\frac{1}{k}xe^{-kx}+\frac{1}{k}\int e^{-kx}dx=-\frac{1}{k}xe^{-kx}-\frac{1}{k^2}e^{-kx}+C$。

解题步骤

(1) 计算$P(X\geq6)$

$P(X\geq6)=\int_{6}^{+\infty}xe^{-\frac{x}{3}/9}dx=\int_{6}^{+\infty}xe^{-\frac{x}{27}}dx$
令$k=\frac{1}{27}$，使用分部积分法：
$\int xe^{-kx}dx=-\frac{1}{k}xe^{-kx}-\frac{1}{k^2}e^{-kx}+C$
代入$k=\frac{1}{27}$，计算定积分：
$\left[-\frac{1}{\frac{1}{27}}xe^{-\frac{x}{27}}-\frac{1}{(\frac{1}{27})^2}e^{-\frac{x}{27}}\right]_{6}^{+\infty}$
当$x\to+\infty$时，$xe^{-\frac{x}{27}}\to0$，$e^{-\frac{x}{27}}\to0$，故上限为0；代入下限$x=6$：
$0 - \left(-27\cdot6e^{-\frac{6}{27}} - 27^2e^{-\frac{6}{27}}\right)=27\cdot6e^{-\frac{2}{9}} + 729e^{-\frac{2}{9}}?$
纠正：题目可能存在笔误，原密度函数应为$f(x)=\frac{1}{9}xe^{-\frac{x}{3}}$（常见指数分布形式），则：
$P(X\geq6)=\int_{6}^{+\infty}\frac{1}{9}xe^{-\frac{x}{3}}dx=\frac{1}{9}\left[-\frac{1}{\frac{1}{3}}xe^{-\frac{x}{3}}-\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}e^{-\frac{x}{3}}\right]_{6}^{+\infty}$
$=\frac{1}{9}\left(0 - \left(-3\cdot6e^{-2} - 9e^{-2}\right)\right)=\frac{1}{9}(18e^{-2}+9e^{-2})=3e^{-2}$
与答案一致，故题目密度函数应为$f(x)=\frac{1}{9}xe^{-\frac{x}{3}}(x>0)$。

(2) 计算$P(6

$P(6 使用分部积分结果：
$\frac{1}{9}\left[-\frac{1}{\frac{1}{3}}xe^{-\frac{x}{3}}-\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}e^{-\frac{x}{3}}\right]_{6}^{9}$
代入上下限：
$\frac{1}{9}\left[\left(-3\cdot9e^{-3} - 9e^{-3}\right)-\left(-3\cdot6e^{-2} - 9e^{-2}\right)\right]$
$=\frac{1}{9}\left[(-27e^{-3}-9e^{-3}) - (-18e^{-2}-9e^{-2})\right]=\frac{1}{9}\left(-36e^{-3}+27e^{-2}\right)=3e^{-2}-4e^{-3}$
与答案一致。