5.设 f(x)= { xneq 0 0 x=0 . 则 x=0 是`f(x)的 B-|||-A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.第二类间断点

考查要点：本题主要考查函数在某一点的连续性判断，涉及极限的计算及间断点类型的判定。

解题核心思路：

1. 判断连续性：需验证函数在$x=0$处是否满足连续的三个条件：函数有定义、极限存在、极限值等于函数值。
2. 计算极限：利用夹逼定理分析$x \sin \frac{1}{x}$当$x \to 0$时的极限。
3. 间断点分类：若极限存在但不等于函数值，则为可去间断点；若极限不存在或为无穷，则对应其他类型。

破题关键：

• 关键结论：$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$，而$f(0)=0$，因此函数在$x=0$处连续。
• 易错点：可能误认为$\sin \frac{1}{x}$的震荡导致极限不存在，但乘以$x$后整体趋于0。

步骤1：验证函数在$x=0$处有定义
由题意，$f(0)=0$，函数在$x=0$处有定义。

步骤2：计算$\lim_{x \to 0} f(x)$
当$x \neq 0$时，$f(x) = x \sin \frac{1}{x}$。
由于$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，故$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$。
根据夹逼定理，当$x \to 0$时，$|x| \to 0$，因此：
$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0.$

步骤3：比较极限值与函数值
$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，满足连续性条件。
因此，$x=0$是$f(x)$的连续点，对应选项A。

矛盾分析：
题目给出的答案为B（可去间断点），但根据上述推导，正确答案应为A。可能原题存在选项错误或函数定义书写错误（如原函数应为$\sin \frac{1}{x}$而非$x \sin \frac{1}{x}$）。