题目
设 A = ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) , R 是 A 上的二元关系，对任意 x , y 三 A , xRy 当且仅当 3| ( x - y ) ( x | y 表示 y 是 x 的整数倍 ) ( 1 ) 画出 R 的关系图 ( 2 ) 证明 R 是等价关系 ( 3 ) 写出商集 A / R
设 A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , R 是 A 上的二元关系，对任意 x , y 
A , xRy 当且仅当 3| ( x - y ) ( x | y 表示 y 是 x 的整数倍 )
( 1 ) 画出 R 的关系图
( 2 ) 证明 R 是等价关系
( 3 ) 写出商集 A / R
题目解答
答案
解：
（1）x | y 表示 y 是 x 的整数倍，因此3| ( x - y )表示（x-y）是3的整数倍。集合A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }，因此可以画出R的关系图如下：
（2）证明：
R是集合A上的关系，如果R是自反的，对称的和传递的，那么R就是A上的等价关系。
可以根据关系图来判断R满足的性质。
在关系图中，每个顶点上都有环，因此R是自反的。
在关系图中，如果两个顶点之间有边，而且是一对方向相反的边，即没有单边。因此R是对称的
在关系图中，如果顶点vi到顶点vj有边，vj到vk也有边，则一定有vi到vk的边。因此R是传递的。
所以可以证明R是等价的。
（3）R的等价类是
[0]=[3]=[6]={0,3,6}
[1]=[4]={1, 4}
[2]=[5]={2, 5}
因此可以写出商集A / R={ {0,3,6}，{1, 4}，{2, 5} }
解析
步骤 1：画出 R 的关系图
根据题目条件，xRy 当且仅当 3| ( x - y )，即 (x - y) 是 3 的整数倍。因此，对于集合 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，我们可以画出 R 的关系图。关系图中，如果 xRy，则在 x 和 y 之间画一条边。由于 3| ( x - y )，所以对于每个 x，它与 x + 3k (k 为整数) 之间有边。因此，关系图如下：
```
0 3 6
1 4
2 5
```
步骤 2：证明 R 是等价关系
要证明 R 是等价关系，需要证明 R 是自反的、对称的和传递的。
- 自反性：对于任意 x ∈ A，有 xRx，因为 3| ( x - x ) = 0，所以 R 是自反的。
- 对称性：对于任意 x, y ∈ A，如果 xRy，则 3| ( x - y )，因此 3| ( y - x )，即 yRx，所以 R 是对称的。
- 传递性：对于任意 x, y, z ∈ A，如果 xRy 且 yRz，则 3| ( x - y ) 且 3| ( y - z )，因此 3| ( x - z )，即 xRz，所以 R 是传递的。
综上所述，R 是等价关系。
步骤 3：写出商集 A / R
根据 R 的等价类，可以写出商集 A / R。等价类是：
- [0] = [3] = [6] = {0, 3, 6}
- [1] = [4] = {1, 4}
- [2] = [5] = {2, 5}
因此，商集 A / R = {{0, 3, 6}, {1, 4}, {2, 5}}。
根据题目条件，xRy 当且仅当 3| ( x - y )，即 (x - y) 是 3 的整数倍。因此，对于集合 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，我们可以画出 R 的关系图。关系图中，如果 xRy，则在 x 和 y 之间画一条边。由于 3| ( x - y )，所以对于每个 x，它与 x + 3k (k 为整数) 之间有边。因此，关系图如下：
```
0 3 6
1 4
2 5
```
步骤 2：证明 R 是等价关系
要证明 R 是等价关系，需要证明 R 是自反的、对称的和传递的。
- 自反性：对于任意 x ∈ A，有 xRx，因为 3| ( x - x ) = 0，所以 R 是自反的。
- 对称性：对于任意 x, y ∈ A，如果 xRy，则 3| ( x - y )，因此 3| ( y - x )，即 yRx，所以 R 是对称的。
- 传递性：对于任意 x, y, z ∈ A，如果 xRy 且 yRz，则 3| ( x - y ) 且 3| ( y - z )，因此 3| ( x - z )，即 xRz，所以 R 是传递的。
综上所述，R 是等价关系。
步骤 3：写出商集 A / R
根据 R 的等价类，可以写出商集 A / R。等价类是：
- [0] = [3] = [6] = {0, 3, 6}
- [1] = [4] = {1, 4}
- [2] = [5] = {2, 5}
因此，商集 A / R = {{0, 3, 6}, {1, 4}, {2, 5}}。