题目
二阶常系数齐次微分方程^p-2y'-3y=0满足条件^p-2y'-3y=0的特解为（ ）A.^p-2y'-3y=0B.^p-2y'-3y=0C.^p-2y'-3y=0D.^p-2y'-3y=0
二阶常系数齐次微分方程
满足条件
的特解为（ ）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
由题意可得，微分方程的特征方程为
，
解得
，
于是可得微分方程的通解为
，
则
，
代入初值条件，可得
，
解得
，于是可得微分方程满足条件的特解为.
故选：D
解析
步骤 1：求解特征方程
给定的微分方程是二阶常系数齐次微分方程，其形式为$y''-2y'-3y=0$。首先，我们求解其特征方程${r}^{2}-2r-3=0$。解这个二次方程，我们得到$r_{1}=-1$和$r_{2}=3$。
步骤 2：写出通解
根据特征方程的解，微分方程的通解形式为$y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{3x}$，其中$C_{1}$和$C_{2}$是待定常数。
步骤 3：应用初始条件
根据题目给出的初始条件$y{|}_{x=0}=3$和$y'{|}_{x=0}=1$，我们代入通解和其导数$y'=-C_{1}e^{-x}+3C_{2}e^{3x}$，得到方程组$\left \{ \begin{matrix} C_{1}+C_{2}=3\\ -C_{1}+3C_{2}=1\end{matrix} \right.$。解这个方程组，我们得到$C_{1}=2$和$C_{2}=1$。
步骤 4：写出特解
将$C_{1}$和$C_{2}$的值代入通解，我们得到满足初始条件的特解$y=2e^{-x}+e^{3x}$。
给定的微分方程是二阶常系数齐次微分方程，其形式为$y''-2y'-3y=0$。首先，我们求解其特征方程${r}^{2}-2r-3=0$。解这个二次方程，我们得到$r_{1}=-1$和$r_{2}=3$。
步骤 2：写出通解
根据特征方程的解，微分方程的通解形式为$y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{3x}$，其中$C_{1}$和$C_{2}$是待定常数。
步骤 3：应用初始条件
根据题目给出的初始条件$y{|}_{x=0}=3$和$y'{|}_{x=0}=1$，我们代入通解和其导数$y'=-C_{1}e^{-x}+3C_{2}e^{3x}$，得到方程组$\left \{ \begin{matrix} C_{1}+C_{2}=3\\ -C_{1}+3C_{2}=1\end{matrix} \right.$。解这个方程组，我们得到$C_{1}=2$和$C_{2}=1$。
步骤 4：写出特解
将$C_{1}$和$C_{2}$的值代入通解，我们得到满足初始条件的特解$y=2e^{-x}+e^{3x}$。