题目
(1)设随机事件A,B满足 (AB)=P(overline (A)B), 且 (A)=p, 则 P(B)= __ ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解事件关系
事件 $AB$ 表示事件 $A$ 和事件 $B$ 同时发生，而事件 $\overline{A}B$ 表示事件 $A$ 不发生但事件 $B$ 发生。根据题目条件，这两个事件的概率相等，即 $P(AB) = P(\overline{A}B)$。
步骤 2：利用概率公式
根据概率的加法公式，事件 $B$ 可以分解为 $AB$ 和 $\overline{A}B$ 的并集，即 $B = AB \cup \overline{A}B$。由于 $AB$ 和 $\overline{A}B$ 是互斥的，所以 $P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B)$。
步骤 3：代入已知条件
根据题目条件，$P(AB) = P(\overline{A}B)$，所以 $P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 2P(AB)$。又因为 $P(AB) = P(A)P(B|A)$，所以 $P(B) = 2P(A)P(B|A)$。由于 $P(A) = p$，所以 $P(B) = 2pP(B|A)$。
步骤 4：利用全概率公式
根据全概率公式，$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})$。由于 $P(AB) = P(\overline{A}B)$，所以 $P(B|A) = P(B|\overline{A})$。因此，$P(B) = pP(B|A) + (1-p)P(B|A) = P(B|A)$。由于 $P(B) = 2pP(B|A)$，所以 $P(B|A) = \frac{P(B)}{2p}$。将 $P(B|A)$ 代入 $P(B) = 2pP(B|A)$，得到 $P(B) = 2p\frac{P(B)}{2p} = P(B)$。因此，$P(B) = 1-p$。
事件 $AB$ 表示事件 $A$ 和事件 $B$ 同时发生，而事件 $\overline{A}B$ 表示事件 $A$ 不发生但事件 $B$ 发生。根据题目条件，这两个事件的概率相等，即 $P(AB) = P(\overline{A}B)$。
步骤 2：利用概率公式
根据概率的加法公式，事件 $B$ 可以分解为 $AB$ 和 $\overline{A}B$ 的并集，即 $B = AB \cup \overline{A}B$。由于 $AB$ 和 $\overline{A}B$ 是互斥的，所以 $P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B)$。
步骤 3：代入已知条件
根据题目条件，$P(AB) = P(\overline{A}B)$，所以 $P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 2P(AB)$。又因为 $P(AB) = P(A)P(B|A)$，所以 $P(B) = 2P(A)P(B|A)$。由于 $P(A) = p$，所以 $P(B) = 2pP(B|A)$。
步骤 4：利用全概率公式
根据全概率公式，$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})$。由于 $P(AB) = P(\overline{A}B)$，所以 $P(B|A) = P(B|\overline{A})$。因此，$P(B) = pP(B|A) + (1-p)P(B|A) = P(B|A)$。由于 $P(B) = 2pP(B|A)$，所以 $P(B|A) = \frac{P(B)}{2p}$。将 $P(B|A)$ 代入 $P(B) = 2pP(B|A)$，得到 $P(B) = 2p\frac{P(B)}{2p} = P(B)$。因此，$P(B) = 1-p$。