四、计算题（本大题共7个小题，共70分，答案务必写在答题纸上）1.求sqrt[3](1+sqrt(3)i)的值.

本题考查复数的极坐标形式以及复数的 $n$ 次方根的计算。解题思路是先将给定的复数 $1 + \sqrt{3}i$ 转化为极坐标形式 $re^{i\theta}$，其中 $r$ 是复数的模，$\theta$ 是复数的辐角，然后利用复数 $n$ 次方根的公式 $\sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)}$（$k = 0, 1, 2, \ldots, n - 1$）来计算立方根。

1. 计算复数的模 $r$：
   对于复数 $z = a + bi$，其模 $r$ 的计算公式为 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$。
   在复数 $1 + \sqrt{3}i$ 中，$a = 1$，$b = \sqrt{3}$，则：
   $\begin{align*}r&=\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}\\&=\sqrt{1 + 3}\\&=\sqrt{4}\\&= 2\end{align*}$
2. 计算复数的辐角 $\theta$：
   对于复数 $z = a + bi$，其辐角 $\theta$ 满足 $\tan\theta = \frac{b}{a}$。
   在复数 $1 + \sqrt{3}i$ 中，$a = 1$，$b = \sqrt{3}$，则：
   $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$
   所以，复数 $1 + \sqrt{3}i$ 的极坐标形式为 $1 + \sqrt{3}i = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$。
3. 求复数的立方根：
   已知复数 $re^{i\theta}$ 的 $n$ 次根公式为 $\sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)}$，其中 $k = 0, 1, 2, \ldots, n - 1$。
   对于本题，要求立方根，即 $n = 3$，则：
   $\begin{align*}\sqrt[3]{2e^{i\frac{\pi}{3}}}&=\sqrt[3]{2} e^{i\left(\frac{\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{3}\right)}\\&=\sqrt[3]{2} e^{i\left(\frac{\pi + 6k\pi}{9}\right)}\\&=\sqrt[3]{2} e^{i\left(\frac{\pi(1 + 6k)}{9}\right)}\end{align*}$
   其中 $k = 0, 1, 2$。
4. 计算三个根：
   • 当 $k = 0$ 时：
     $\sqrt[3]{2} e^{i\frac{\pi}{9}} = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9} \right)$
   • 当 $k = 1$ 时：
     $\sqrt[3]{2} e^{i\frac{7\pi}{9}} = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{7\pi}{9} + i\sin\frac{7\pi}{9} \right)$
   • 当 $k = 2$ 时：
     $\sqrt[3]{2} e^{i\frac{13\pi}{9}} = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{13\pi}{9} + i\sin\frac{13\pi}{9} \right)$