题目

(4) lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2-sqrt (x)}(sqrt {x)-1};

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型不定式的能力。需要掌握分母有理化或洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当直接代入$x=1$导致分母为0时，需通过变形消除不定式。

  • 分母有理化：通过乘以共轭根式$\sqrt{x}+1$，将分母转化为$x-1$，再分解分子中的因式$(x-1)$。
  • 洛必达法则：若分子分母同时趋近于0，可对分子分母分别求导后重新求极限。

破题关键点：

  1. 识别$\frac{0}{0}$型不定式，选择合适方法。
  2. 分子展开后，正确分解因式$(x-1)$以约分。
  3. 洛必达法则应用时，正确计算导数并化简。

法1：分母有理化

  1. 有理化分母：
    分子分母同乘$\sqrt{x}+1$，得：
    $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {({x}^{2}-\sqrt {x})(\sqrt {x}+1)}{(\sqrt {x}-1)(\sqrt {x}+1)} = \lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {({x}^{2}-\sqrt {x})(\sqrt {x}+1)}{x-1}$

  2. 展开分子：
    分子展开为：
    ${x}^{2}\sqrt{x} + {x}^{2} - \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - \sqrt{x} = x^{5/2} + x^2 - x - \sqrt{x}$

  3. 分解因式：
    将分子拆分为两部分：
    $\sqrt{x}(x^2 - 1) + x(x - 1)$
    其中$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$，因此：
    $\sqrt{x}(x-1)(x+1) + x(x-1)$

  4. 约分并求极限：
    分母为$x-1$，约分后得：
    $\lim _{x\rightarrow 1} \left[ \sqrt{x}(x+1) + x \right] = \sqrt{1}(1+1) + 1 = 3$

法2：洛必达法则

  1. 验证条件：
    当$x \to 1$时，分子$x^2 - \sqrt{x} \to 0$，分母$\sqrt{x} - 1 \to 0$，满足$\frac{0}{0}$型。

  2. 求导分子分母：

    • 分子导数：$\dfrac{d}{dx}(x^2 - \sqrt{x}) = 2x - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    • 分母导数：$\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x} - 1) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

  3. 应用洛必达法则：
    $\lim _{x\rightarrow 1} \dfrac{2x - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim _{x\rightarrow 1} \left(4x\sqrt{x} - 1\right) = 4 \cdot 1 \cdot 1 - 1 = 3$