工厂使用的某种元件由四个厂家提供，四个厂家的供货量分别占总量的 15%、20%、30% 和 35%，又知四个厂家生产的元件次品率分别为 0.05、0.04、0.03 和 0.02。(1) 求任取一个元件为次品的概率；(2) 若取到的产品为次品，求其是第四个厂家提供的概率。

我们来逐步解决这个概率问题。题目涉及全概率公式和贝叶斯公式，是典型的条件概率应用题。

已知信息整理：

设元件来自四个厂家分别为：

• $ A_1 $：第一个厂家，供货占比 $ P(A_1) = 15\% = 0.15 $，次品率 $ P(D|A_1) = 0.05 $
• $ A_2 $：第二个厂家，供货占比 $ P(A_2) = 20\% = 0.20 $，次品率 $ P(D|A_2) = 0.04 $
• $ A_3 $：第三个厂家，供货占比 $ P(A_3) = 30\% = 0.30 $，次品率 $ P(D|A_3) = 0.03 $
• $ A_4 $：第四个厂家，供货占比 $ P(A_4) = 35\% = 0.35 $，次品率 $ P(D|A_4) = 0.02 $

其中，事件 $ D $ 表示“取到的元件是次品”。

（1）求任取一个元件为次品的概率

即求 $ P(D) $，使用全概率公式：

$P(D) = P(A_1)P(D|A_1) + P(A_2)P(D|A_2) + P(A_3)P(D|A_3) + P(A_4)P(D|A_4)$

代入数据：

$P(D) = 0.15 \times 0.05 + 0.20 \times 0.04 + 0.30 \times 0.03 + 0.35 \times 0.02$

逐项计算：

• $ 0.15 \times 0.05 = 0.0075 $
• $ 0.20 \times 0.04 = 0.008 $
• $ 0.30 \times 0.03 = 0.009 $
• $ 0.35 \times 0.02 = 0.007 $

相加：

$P(D) = 0.0075 + 0.008 + 0.009 + 0.007 = 0.0315$

答案（1）：

$\boxed{0.0315}$

即任取一个元件是次品的概率为 3.15%。

（2）若取到的产品为次品，求其是第四个厂家提供的概率

即求条件概率 $ P(A_4 | D) $，使用贝叶斯公式：

$P(A_4 | D) = \frac{P(A_4) P(D|A_4)}{P(D)}$

我们已经知道：

• $ P(A_4) = 0.35 $
• $ P(D|A_4) = 0.02 $
• $ P(D) = 0.0315 $

代入：

$P(A_4 | D) = \frac{0.35 \times 0.02}{0.0315} = \frac{0.007}{0.0315}$

计算：

$\frac{0.007}{0.0315} = \frac{700}{3150} = \frac{70}{315} = \frac{14}{63} \approx 0.2222$

精确计算：

$\frac{0.007}{0.0315} = \frac{7}{31.5} = \frac{70}{315} = \frac{2}{9} \approx 0.2222$

所以：

$P(A_4 | D) \approx 0.2222$

答案（2）：

$\boxed{\frac{2}{9}} \quad \text{或} \quad \boxed{0.2222} \text{（保留四位小数）}$

即：在已知取到的是次品的条件下，该次品来自第四个厂家的概率约为 22.22%。

最终答案总结：

（1）任取一个元件为次品的概率是：$\boxed{0.0315}$

（2）若取到的是次品，则其来自第四个厂家的概率是：$\boxed{\dfrac{2}{9}}$（或约 0.2222）