题目
6.设函数φ(x)连续，且满足varphi(x)=e^x+int_(0)^xtvarphi(t)dt-xint_(0)^xvarphi(t)dt,求φ(x).
6.设函数φ(x)连续，且满足
$\varphi(x)=e^{x}+\int_{0}^{x}t\varphi(t)dt-x\int_{0}^{x}\varphi(t)dt,$
求φ(x).
题目解答
答案
为了求解函数 $\varphi(x)$，我们从给定的方程开始：
\[
\varphi(x) = e^x + \int_0^x t \varphi(t) \, dt - x \int_0^x \varphi(t) \, dt.
\]
首先，我们对等式两边关于 $x$ 求导。使用微分法则和积分的性质，我们得到：
\[
\varphi'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x \right) + \frac{d}{dx} \left( \int_0^x t \varphi(t) \, dt \right) - \frac{d}{dx} \left( x \int_0^x \varphi(t) \, dt \right).
\]
这可以简化为：
\[
\varphi'(x) = e^x + x \varphi(x) - \left( \int_0^x \varphi(t) \, dt + x \varphi(x) \right).
\]
注意到 $x \varphi(x)$ 项相互抵消，留下：
\[
\varphi'(x) = e^x - \int_0^x \varphi(t) \, dt.
\]
接下来，我们再次对等式两边关于 $x$ 求导：
\[
\varphi''(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x \right) - \frac{d}{dx} \left( \int_0^x \varphi(t) \, dt \right).
\]
这简化为：
\[
\varphi''(x) = e^x - \varphi(x).
\]
因此，我们得到了一个二阶微分方程：
\[
\varphi''(x) + \varphi(x) = e^x.
\]
为了解这个微分方程，我们首先找到齐次方程 $\varphi''(x) + \varphi(x) = 0$ 的通解。特征方程是：
\[
r^2 + 1 = 0,
\]
其根为 $r = \pm i$。因此，齐次方程的通解是：
\[
\varphi_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x.
\]
接下来，我们找到非齐次方程 $\varphi''(x) + \varphi(x) = e^x$ 的一个特解。我们尝试特解的形式 $\varphi_p(x) = Ae^x$。将 $\varphi_p(x) = Ae^x$ 代入微分方程，我们得到：
\[
Ae^x + Ae^x = e^x,
\]
简化为：
\[
2Ae^x = e^x.
\]
解得 $A = \frac{1}{2}$。因此，一个特解是：
\[
\varphi_p(x) = \frac{1}{2} e^x.
\]
非齐次方程的通解是齐次解和特解的和：
\[
\varphi(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \frac{1}{2} e^x.
\]
为了确定常数 $C_1$ 和 $C_2$，我们使用初始条件。从原方程，我们有：
\[
\varphi(0) = e^0 + \int_0^0 t \varphi(t) \, dt - 0 \int_0^0 \varphi(t) \, dt = 1.
\]
将 $x = 0$ 代入通解，我们得到：
\[
\varphi(0) = C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 + \frac{1}{2} e^0 = C_1 + \frac{1}{2} = 1.
\]
解得 $C_1 = \frac{1}{2}$。接下来，我们使用 $\varphi(x)$ 的导数：
\[
\varphi'(x) = -C_1 \sin x + C_2 \cos x + \frac{1}{2} e^x.
\]
从原方程，我们有：
\[
\varphi'(0) = e^0 - \int_0^0 \varphi(t) \, dt = 1.
\]
将 $x = 0$ 代入导数，我们得到：
\[
\varphi'(0) = -C_1 \sin 0 + C_2 \cos 0 + \frac{1}{2} e^0 = C_2 + \frac{1}{2} = 1.
\]
解得 $C_2 = \frac{1}{2}$。因此，函数 $\varphi(x)$ 是：
\[
\varphi(x) = \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} e^x = \frac{1}{2} (\cos x + \sin x + e^x).
\]
最终答案是：
\[
\boxed{\frac{1}{2} (e^x + \sin x + \cos x)}.
\]
解析
本题考查知识点为积分方程的求解，解题思路是先对给定的积分方程两边求导，将其转化为二阶常系数非齐次线性微分方程，然后求解该微分方程的通解，最后根据原方程确定初始条件，进而求出通解中的常数，得到函数的具体表达式。
- 对原方程求导：
已知$\varphi(x)=e^{x}+\int_{0}^{x}t\varphi(t)dt - x\int_{0}^{x}\varphi(t)dt$，根据求导的加法法则$(u+v - w)^\prime=u^\prime+v^\prime - w^\prime$，分别对各项求导。- $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$。
- 根据变上限积分求导法则$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt = f(x)$，可得$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}t\varphi(t)dt = x\varphi(x)$。
- 对于$\frac{d}{dx}(x\int_{0}^{x}\varphi(t)dt)$，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = x$，$v=\int_{0}^{x}\varphi(t)dt$，则$u^\prime = 1$，$v^\prime=\varphi(x)$，所以$\frac{d}{dx}(x\int_{0}^{x}\varphi(t)dt)=\int_{0}^{x}\varphi(t)dt + x\varphi(x)$。
因此，$\varphi^\prime(x)=e^x + x\varphi(x)-(\int_{0}^{x}\varphi(t)dt + x\varphi(x))=e^x - \int_{0}^{x}\varphi(t)dt$。
- 再次求导得到微分方程：
对$\varphi^\prime(x)=e^x - \int_{0}^{x}\varphi(t)dt$两边再次求导。- $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$。
- 根据变上限积分求导法则$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\varphi(t)dt = \varphi(x)$。
所以$\varphi^{\prime\prime}(x)=e^x - \varphi(x)$，即$\varphi^{\prime\prime}(x)+\varphi(x)=e^x$，这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。
- 求解齐次方程的通解：
对于齐次方程$\varphi^{\prime\prime}(x)+\varphi(x)=0$，其特征方程为$r^2 + 1 = 0$，解这个方程：
$\begin{align*}r^2 + 1 &= 0\\r^2&=-1\\r&=\pm i\end{align*}$
根据特征根为$\pm i$，齐次方程的通解为$\varphi_h(x)=C_1\cos x + C_2\sin x$，其中$C_1$和$C_2$为常数。 - 求解非齐次方程的特解：
对于非齐次方程$\varphi^{\prime\prime}(x)+\varphi(x)=e^x$，由于非齐次项为$e^x$，设特解$\varphi_p(x)=Ae^x$，将其代入非齐次方程得：
$\begin{align*}Ae^x + Ae^x&=e^x\\2Ae^x&=e^x\end{align*}$
两边同时除以$e^x$，可得$2A = 1$，解得$A=\frac{1}{2}$，所以特解$\varphi_p(x)=\frac{1}{2}e^x$。 - 得到非齐次方程的通解：
非齐次方程的通解为齐次解与特解之和，即$\varphi(x)=\varphi_h(x)+\varphi_p(x)=C_1\cos x + C_2\sin x+\frac{1}{2}e^x$。 - 确定常数$C_1$和$C_2$：
- 求初始条件$\varphi(0)$：
将$x = 0$代入原方程$\varphi(x)=e^{x}+\int_{0}^{x}t\varphi(t)dt - x\int_{0}^{x}\varphi(t)dt$，可得$\varphi(0)=e^0+\int_{0}^{0}t\varphi(t)dt - 0\times\int_{0}^{0}\varphi(t)dt = 1$。
将$x = 0$代入通解$\varphi(x)=C_1\cos x + C_2\sin x+\frac{1}{2}e^x$，得$\varphi(0)=C_1\cos 0 + C_2\sin 0+\frac{1}{2}e^0=C_1+\frac{1}{2}$，因为$\varphi(0)=1$，所以$C_1+\frac{1}{2}=1$，解得$C_1=\frac{1}{2}$。 - 求初始条件$\varphi^\prime(0)$：
对$\varphi(x)=C_1\cos x + C_2\sin x+\frac{1}{2}e^x$求导得$\varphi^\prime(x)=-C_1\sin x + C_2\cos x+\frac{1}{2}e^x$。
将$x = 0$代入$\varphi^\prime(x)=e^x - \int_{0}^{x}\varphi(t)dt$，可得$\varphi^\prime(0)=e^0 - \int_{0}^{0}\varphi(t)dt = 1$。
将$x = 0$代入$\varphi^\prime(x)=-C_1\sin x + C_2\cos x+\frac{1}{2}e^x$，得$\varphi^\prime(0)=-C_1\sin 0 + C_2\cos 0+\frac{1}{2}e^0=C_2+\frac{1}{2}$，因为$\varphi^\prime(0)=1$，所以$C_2+\frac{1}{2}=1$，解得$C_2=\frac{1}{2}$。
- 求初始条件$\varphi(0)$：
- 得到函数$\varphi(x)$的表达式：
将$C_1=\frac{1}{2}$，$C_2=\frac{1}{2}$代入通解$\varphi(x)=C_1\cos x + C_2\sin x+\frac{1}{2}e^x$，可得$\varphi(x)=\frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}e^x=\frac{1}{2}(e^x+\sin x+\cos x)$。