5.利用留数计算下列积分.-|||-(3) (int )_(|z|=2)dfrac ({e)^2z}((z+1){(z-1))^2}dz

步骤 1：确定积分路径和被积函数的奇点
积分路径为 $|z| = 2$，被积函数为 $\dfrac{{e}^{2z}}{(z+1){(z-1)}^{2}}$。被积函数的奇点为 $z = -1$ 和 $z = 1$，其中 $z = 1$ 是二阶极点，$z = -1$ 是一阶极点。这两个奇点都在积分路径内部。

步骤 2：计算留数
对于 $z = -1$，计算一阶极点的留数：
$$
\text{Res}\left(\dfrac{{e}^{2z}}{(z+1){(z-1)}^{2}}, z = -1\right) = \lim_{z \to -1} (z + 1) \dfrac{{e}^{2z}}{(z+1){(z-1)}^{2}} = \lim_{z \to -1} \dfrac{{e}^{2z}}{{(z-1)}^{2}} = \dfrac{{e}^{-2}}{4}
$$
对于 $z = 1$，计算二阶极点的留数：
$$
\text{Res}\left(\dfrac{{e}^{2z}}{(z+1){(z-1)}^{2}}, z = 1\right) = \lim_{z \to 1} \dfrac{d}{dz} \left( (z - 1)^2 \dfrac{{e}^{2z}}{(z+1){(z-1)}^{2}} \right) = \lim_{z \to 1} \dfrac{d}{dz} \left( \dfrac{{e}^{2z}}{z+1} \right)
$$
$$
= \lim_{z \to 1} \dfrac{2{e}^{2z}(z+1) - {e}^{2z}}{(z+1)^2} = \lim_{z \to 1} \dfrac{{e}^{2z}(2z+1)}{(z+1)^2} = \dfrac{3{e}^{2}}{4}
$$

步骤 3：应用留数定理
根据留数定理，积分值等于积分路径内部所有奇点的留数之和乘以 $2\pi i$：
$$
{\int }_{|z|=2}\dfrac {{e}^{2z}}{(z+1){(z-1)}^{2}}dz = 2\pi i \left( \dfrac{{e}^{-2}}{4} + \dfrac{3{e}^{2}}{4} \right) = \dfrac{1}{2}(3{e}^{2}+{e}^{-2})\pi i
$$