题目
14.已知 =(1,2,3), beta =(1,dfrac (1)(2),dfrac (1)(3)). 设 =(alpha )^Tbeta , 其中α^T是α的转置,求A^n.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算矩阵 $A$
根据题目，$A={\alpha }^{T}\beta $，其中 $\alpha=(1,2,3)$，$\beta=(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3})$。首先计算 $\alpha^T$，即 $\alpha$ 的转置，得到 $\alpha^T=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$。然后计算 $A=\alpha^T\beta$，即
$$
A=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\ 2 & 1 & \dfrac{2}{3} \\ 3 & \dfrac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算 $A^n$
观察矩阵 $A$，可以发现 $A$ 是一个秩为1的矩阵，即 $A$ 的所有列都是 $\beta$ 的倍数。因此，$A^n$ 也可以表示为 $\alpha^T\beta^n$ 的形式。由于 $\beta$ 是一个向量，$\beta^n$ 实际上是 $\beta$ 的每个元素的 $n$ 次方。但是，由于 $A$ 的特殊结构，$A^n$ 可以直接表示为 $3^{n-1}A$，因为 $A$ 的每个元素都是 $3$ 的倍数，且 $A$ 的秩为1，所以 $A^n$ 的形式与 $A$ 相同，只是每个元素乘以 $3^{n-1}$。
根据题目，$A={\alpha }^{T}\beta $，其中 $\alpha=(1,2,3)$，$\beta=(1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3})$。首先计算 $\alpha^T$，即 $\alpha$ 的转置，得到 $\alpha^T=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$。然后计算 $A=\alpha^T\beta$，即
$$
A=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\ 2 & 1 & \dfrac{2}{3} \\ 3 & \dfrac{3}{2} & 1 \end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算 $A^n$
观察矩阵 $A$，可以发现 $A$ 是一个秩为1的矩阵，即 $A$ 的所有列都是 $\beta$ 的倍数。因此，$A^n$ 也可以表示为 $\alpha^T\beta^n$ 的形式。由于 $\beta$ 是一个向量，$\beta^n$ 实际上是 $\beta$ 的每个元素的 $n$ 次方。但是，由于 $A$ 的特殊结构，$A^n$ 可以直接表示为 $3^{n-1}A$，因为 $A$ 的每个元素都是 $3$ 的倍数，且 $A$ 的秩为1，所以 $A^n$ 的形式与 $A$ 相同，只是每个元素乘以 $3^{n-1}$。