题目
17.计算二重积分 =iint (sqrt ({x)^2+(y)^2}+xy)dxdy, 其中D是由曲线 =sqrt (1-{x)^2} 和x轴所-|||-围成的闭区域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
积分区域D是由曲线 $y=\sqrt {1-{x}^{2}}$ 和x轴所围成的闭区域，即 $D=\{(x,y)|-1\leqslant x\leqslant 1, 0\leqslant y\leqslant \sqrt {1-{x}^{2}}\}$。
步骤 2：利用对称性简化积分
由于积分区域D关于y轴对称，被积函数xy是关于x的奇函数，所以 $\iint xydxdy=0$。因此，原积分可以简化为 $I=\iint \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy$。
步骤 3：转换为极坐标系
令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则 $dxdy=rdrd\theta$。在极坐标系中，闭区域D可表示为：$0\leqslant r\leqslant 1$，$0\leqslant \theta \leqslant \pi$。
步骤 4：计算极坐标下的二重积分
$I=\iint \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy=\iint r\cdot rdrd\theta ={\int }_{0}^{\pi }d\theta {\int }_{0}^{1}{r}^{2}dr$。
步骤 5：计算积分
$I={\int }_{0}^{\pi }d\theta {\int }_{0}^{1}{r}^{2}dr=\pi \cdot \dfrac {1}{3}{r}^{3}{|}_{0}^{1}=\dfrac {\pi }{3}$。
积分区域D是由曲线 $y=\sqrt {1-{x}^{2}}$ 和x轴所围成的闭区域，即 $D=\{(x,y)|-1\leqslant x\leqslant 1, 0\leqslant y\leqslant \sqrt {1-{x}^{2}}\}$。
步骤 2：利用对称性简化积分
由于积分区域D关于y轴对称，被积函数xy是关于x的奇函数，所以 $\iint xydxdy=0$。因此，原积分可以简化为 $I=\iint \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy$。
步骤 3：转换为极坐标系
令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则 $dxdy=rdrd\theta$。在极坐标系中，闭区域D可表示为：$0\leqslant r\leqslant 1$，$0\leqslant \theta \leqslant \pi$。
步骤 4：计算极坐标下的二重积分
$I=\iint \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy=\iint r\cdot rdrd\theta ={\int }_{0}^{\pi }d\theta {\int }_{0}^{1}{r}^{2}dr$。
步骤 5：计算积分
$I={\int }_{0}^{\pi }d\theta {\int }_{0}^{1}{r}^{2}dr=\pi \cdot \dfrac {1}{3}{r}^{3}{|}_{0}^{1}=\dfrac {\pi }{3}$。