题目
用定积分的几何意义求 (int )_(a)^bsqrt ((x-a)(b-x))dx(bgt a) 的值为 () 。-|||-(A) dfrac (pi {(b-a))^2}(8) (B) dfrac (pi {(b-a))^2}(4) (C) dfrac (pi {(b+a))^2}(8) (D) dfrac (pi {(b-a))^2}(4)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解定积分的几何意义
定积分 ${\int }_{a}^{b}\sqrt {(x-a)(b-x)dx}$ 表示的是在区间 $[a, b]$ 上，函数 $y = \sqrt{(x-a)(b-x)}$ 下方的面积。这个函数可以看作是圆的一部分，因为 $(x-a)(b-x)$ 可以写成 $(x-a)(b-x) = -x^2 + (a+b)x - ab$，这与圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$ 形式相似。
步骤 2：确定圆的方程
将 $(x-a)(b-x)$ 重新整理，得到 $y^2 = (x-a)(b-x)$，即 $y^2 = -x^2 + (a+b)x - ab$。这可以看作是圆的方程的一部分，其中圆心在 $(\frac{a+b}{2}, 0)$，半径为 $\frac{b-a}{2}$。因此，定积分表示的是这个圆的上半部分的面积。
步骤 3：计算圆的面积
圆的面积公式为 $A = \pi r^2$，其中 $r$ 是圆的半径。在这个问题中，圆的半径为 $\frac{b-a}{2}$，所以圆的面积为 $\pi \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \frac{\pi (b-a)^2}{4}$。因为定积分表示的是圆的上半部分的面积，所以定积分的值为 $\frac{1}{2} \times \frac{\pi (b-a)^2}{4} = \frac{\pi (b-a)^2}{8}$。
定积分 ${\int }_{a}^{b}\sqrt {(x-a)(b-x)dx}$ 表示的是在区间 $[a, b]$ 上，函数 $y = \sqrt{(x-a)(b-x)}$ 下方的面积。这个函数可以看作是圆的一部分，因为 $(x-a)(b-x)$ 可以写成 $(x-a)(b-x) = -x^2 + (a+b)x - ab$，这与圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$ 形式相似。
步骤 2：确定圆的方程
将 $(x-a)(b-x)$ 重新整理，得到 $y^2 = (x-a)(b-x)$，即 $y^2 = -x^2 + (a+b)x - ab$。这可以看作是圆的方程的一部分，其中圆心在 $(\frac{a+b}{2}, 0)$，半径为 $\frac{b-a}{2}$。因此，定积分表示的是这个圆的上半部分的面积。
步骤 3：计算圆的面积
圆的面积公式为 $A = \pi r^2$，其中 $r$ 是圆的半径。在这个问题中，圆的半径为 $\frac{b-a}{2}$，所以圆的面积为 $\pi \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \frac{\pi (b-a)^2}{4}$。因为定积分表示的是圆的上半部分的面积，所以定积分的值为 $\frac{1}{2} \times \frac{\pi (b-a)^2}{4} = \frac{\pi (b-a)^2}{8}$。