计算三重积分之 (}^2dxdydz-|||-Ω，其中之 {)^2dxdydz-|||-Ω是由椭圆球面之 {}^2dxdydz-|||-Ω所围成的有界闭区域。

考查要点：本题主要考查三重积分在椭圆球坐标系下的计算方法，重点在于坐标变换和对称性应用。

解题思路：

1. 坐标变换：将椭圆球面方程转化为标准单位球面方程，简化积分区域。
2. 雅可比行列式：通过变量代换调整体积元素。
3. 对称性简化：利用球坐标系下对称性，快速计算积分。

破题关键：

• 变量代换：令 $u = \frac{x}{3}$，$v = \frac{y}{4}$，$w = \frac{z}{5}$，将椭圆球面转化为单位球面 $u^2 + v^2 + w^2 \leq 1$。
• 积分函数转化：原积分函数 $z^2$ 转化为 $(5w)^2$，结合雅可比行列式计算最终结果。

步骤1：坐标变换与雅可比行列式

令 $u = \frac{x}{3}$，$v = \frac{y}{4}$，$w = \frac{z}{5}$，椭圆球面方程变为 $u^2 + v^2 + w^2 \leq 1$。
雅可比行列式为 $3 \times 4 \times 5 = 60$，故体积元素 $dxdydz = 60 \, dudvdw$。

步骤2：积分函数转化

原积分函数 $z^2$ 转化为 $(5w)^2 = 25w^2$，因此原积分变为：
$\iiint_{\Omega} z^2 \, dxdydz = 25 \times 60 \iiint_{u^2+v^2+w^2 \leq 1} w^2 \, dudvdw = 1500 \iiint_{\text{单位球}} w^2 \, dudvdw.$

步骤3：计算单位球积分

利用对称性，单位球体中 $\iiint w^2 \, dudvdw = \frac{1}{3} \iiint (u^2 + v^2 + w^2) \, dudvdw$。
计算 $\iiint (u^2 + v^2 + w^2) \, dudvdw$：
$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r^2 \sin\phi \, dr d\phi d\theta = 4\pi \int_0^1 r^4 \, dr = \frac{4\pi}{5}.$
因此，$\iiint w^2 \, dudvdw = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\pi}{5} = \frac{4\pi}{15}$。

步骤4：代入计算最终结果

$1500 \times \frac{4\pi}{15} = 400\pi.$